Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若，且在上恒成立，求的取值范围；

（3）设函数，若，且在上存在零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）；（3）

【解析】

（1）求导后，根据导函数的符号即可确定单调区间；（2）分别在和两种情况下，判断恒成立的条件；当时，利用二次函数的性质，结合可构造不等式求得的范围；当时，利用分离变量法得到恒成立，进而通过求解右侧函数最小值得到的范围；两个范围取交集即为最终结果；（3）将函数在上存在零点转化为在上有解的问题；通过讨论的正负可分离变量变为，利用导数求解不等式右侧函数的最大值得到结果.

（1）当时，

令得：

函数的定义域为

当时，；当时，，

函数的单调减区间为，单调增区间为

（2）由得：.

当时，恒成立

当，即时，恒成立；

当，即时，

解得：

综上所述：

当时，由恒成立得：恒成立

设，则.

令得：

当时，；当时，

综上所述：的取值范围为：

（3）

在上存在零点 在上有解

即在上有解

又，即

在上有解

设，则

令得：

当时，；当时，

，即 .

设，则

同理可证：

则在上单调递减，在上单调递增

，故

的取值范围为：