Question

17．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的递减区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，求f（x）的最值，并指出取得最值时相应的x的值．

Answer 1

分析 （I）利用和差公式、倍角公式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，再利用正弦函数的单调性即可得出；
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{2}（{sin2x•\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cos2x•\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）+1$=$\sqrt{2}（{sin2x•cos\frac{π}{4}+cos2x•sin\frac{π}{4}}）+1$=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，
要使f（x）递减，则$2x+\frac{π}{4}$要满足：$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，
即$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}，k∈Z$，
所以函数f（x）的递减区间是$[{kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）因为$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$，所以$-\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
所以$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（{2x+\frac{π}{4}}）≤1$，
所以$-1≤\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）≤\sqrt{2}$，
所以$0≤\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1≤1+\sqrt{2}$．
故当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$时，
函数f（x）的最小值是0，此时$sin（{2x+\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$x=-\frac{π}{4}$；
函数f（x）的最大值是$1+\sqrt{2}$，此时$sin（{2x+\frac{π}{4}}）=1$，得$x=\frac{π}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．