Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，直线l与双曲线相交于M、N两点，MN的中点为（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{5}{3}$），则直线l的方程是y=x-1．

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入双曲线的方程，两式相减，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，可得直线l的斜率，再由点斜式方程可得直线l的方程，代入双曲线的方程，检验即可得到所求方程．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
代入双曲线的方程可得
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{5}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{5}$=1，
相减可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{5}$，
由题意可得x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=-$\frac{10}{3}$，
代入上式，可得k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{5（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{5×（-\frac{4}{3}）}{2×（-\frac{10}{3}）}$=1，
即有直线l的方程为y+$\frac{5}{3}$=x+$\frac{2}{3}$，
即为y=x-1．
由y=x-1代入双曲线的方程可得3x²+4x-12=0，
由判别式为16+144＞0，则直线存在．
故答案为：y=x-1．

点评 本题考查中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，考查中点坐标公式和直线的斜率公式及直线的方程的运用，考查运算能力，属于中档题．