Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）满足f（2x）=x2﹣2ax+a2﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）在 上的值域为[﹣1，0]，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令2x=t＞0，则x=log2t，则 ，

即 ．

定义域为：（0，+∞）；

（Ⅱ）令g（x）=f（2x），则f（x）= ，

∴f（x）在 上的值域为[﹣1，0]等价于g（x）=x2﹣2ax+a2﹣1

在区间[a﹣1，a2﹣2a+2]上的值域为[﹣1，0]．

∵g（a）=﹣1∈[﹣1，0]，∴a∈[a﹣1，a2﹣2a+2]，且g（x）在区间[a﹣1，a2﹣2a+2]上的最大值应在区间端点处取得．

又g（a﹣1）=0恰为g（x）在该区间上的最大值，故a必在区间右半部分，即 ，

解得 或

【解析】（Ⅰ）使用换元法令2x=t＞0，则x=log2t代入即可求出；（Ⅱ）由题意，利用换元法将f（x）在 上的值域为[﹣1，0]等价于g（x）=x2﹣2ax+a2﹣1在区间[a﹣1，a2﹣2a+2]上的值域为[﹣1，0]．从而求解可得实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．