Question

14．已知函数f（x）=2a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然数对数的底数）与g（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2e^2}$-1
• C． $\frac{1}{2e^2}$+1
• D． $\frac{e^2}{2}$-1

Answer 1

分析 由已知，得到方程2a-x²=-2lnx?-2a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解，构造函数f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到a的最小值即可．

解答 解：由已知，得到方程2a-x²=-2lnx?-2a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解．
设f（x）=2lnx-x²，求导得：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，
f（x）_极大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-2a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解等价于2-e²≤-2a≤-1．
从而a≥$\frac{1}{2}$，即有a的最小值是$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程2a-x²=-2lnx?-2a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．