Question

如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=AB=BC=AD.

(1) 求证:CD⊥平面PAC;

(2) 侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.

Answer 1

 (1) 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.

而CD底面ABCD,所以PA⊥CD.

在底面ABCD中,因为∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=AD,所以AC=CD=AD,所以AC⊥CD.

又因为PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

(2) 在PA上存在中点E,使得BE∥平面PCD.

证明如下:设PD的中点是F,

连接BE,EF,FC,则EF∥AD,且EF=AD.

(第11题)

由已知∠ABC=∠BAD=90°,所以BC∥AD.

又BC=AD,所以BC∥EF,且BC=EF,

所以四边形BEFC为平行四边形,所以BE∥CF.

因为BE⊄平面PCD,CF平面PCD,所以BE∥平面PCD.