Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点．若|AF|=4，则|BF|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l．如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．由抛物线的定义可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x轴，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=

1

2

|AB|．化简即可得出．

解答： 解：设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l：x=-

p

2

．
如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵AM∥x轴，
∴∠BAC=∠AFx=60°．
在Rt△ABC中，|AC|=

1

2

|AB|
又|AM|-|BN|=|AC|，
∴|AF|-|BF|=

1

2

（|AF|+|BF|），
化为|AF|=3|BF|
∵|AF|=4，
∴|BF|=

4

3

或12．
故答案为：

4

3

或12．

点评：本题考查了抛物线的定义、含60°角的直角三角形的性质、平行线的性质，考查了辅助线的作法，属于中档题．