Question

已知向量

m

=（

3

sinx，sinx），

n

=（cosx，sinx），函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

，a=2，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性即可确定出f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

及第一问的解析式确定出A的度数，再由a，b+c的值，利用余弦定理求出bc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，得f（x）=

m

•

n

=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期为π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则f（x）的递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=sin（2A-

π

6

）+

1

2

=

3

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，
∴0＜2A＜2π，即-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
∵a=2，b+c=3，
∴根据余弦定理得，4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc，
∴bc=

5

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

5

3

×

3

2

=

5 3

12

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．