Question

4．设数列{a_n}各项为正数，且a₂=4a₁，${a_{n+1}}=a_n^2+2{a_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）证明：数列{log₃（1+a_n）}为等比数列；
（Ⅱ）设数列{log₃（a_n+1）}的前n项和为T_n，求使T_n＞520成立时n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出首项，化简已知条件，利用等比数列的定义证明：数列{log₃（1+a_n）}为等比数列；
（Ⅱ）求出首项的通项公式，然后求和，列出不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由已知，${a_2}=a_1^2+2{a_1}=4{a_1}$，则a₁（a₁-2）=0，
因为数列{a_n}各项为正数，所以a₁=2，
由已知，${a_{n+1}}+1={（{{a_n}+1}）^2}＞0$，
得log₃（a_n+1+1）=2log₃（a_n+1）．
又log₃（a₁+1）=log₃3=1，
所以，数列{log₃（1+a_n）}是首项为1，公比为2的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${log_3}（{1+{a_n}}）={2^{n-1}}$，
所以${T_n}=1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}={2^n}-1$．
由T_n＞520，得2ⁿ＞521（n∈N^*），
所以n≥10．
于是T_n＞520成立时n的最小值为10．…（12分）

点评 本题考查等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力．