Question

若函数f（x）在给定区间M上存在的正数t，使得对任意的x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t级类增函数，给出下列命题：
①函数f（x）=3^x是R上的1级类增函数；
②若函数f（x）=R上单调递增，则f（x）一定为R上的t级类增函数；
③若函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞]上的

π

3

级类增函数，则实数a的最小值为2；
④若函数f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）．
其中正确的命题为

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：①f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x；
②x+t＞x，f（x+t）＞f（x）恒成立，即可判断；
③函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞]上的

π

3

级类增函数，故运用参数分离，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
④由f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值范围为[1，+∞）．

解答： 解：对于①，函数f（x）=3^x，∴f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x，∴3^x≥0在（-∞，+∞）上恒成立，∴①正确；
对于②，∵x+t＞x，∴f（x+t）＞f（x）恒成立，∴②正确；
对于③，f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞]上的

π

3

级类增函数，∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，当x=

π

2

时，

π

3

a≥

1

2

，a≥

3

2π

，∴则实数a的最小值为2，∴③不正确；
对于④，∵f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，t≥3-2x，由于x∈[1，+∞），则3-2x≤1，故实数t的取值范围为[1，+∞），∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．