Question

【题目】已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x)＝f(x＋3)，f(－2)＝－3.若数列{an}中，a1＝－1，且前n项和Sn满足＝2×＋1，则f(a5)＋f(a6)＝________．

Answer 1

【答案】3

【解析】∵函数f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.

∵f(x)＝f(x＋3)，

∴f(x)是以3为周期的周期函数．

∵Sn＝2an＋n，

∴Sn－1＝2an－1＋(n－1)(n≥2)，

两式相减并整理得an＝2an－1－1，即an－1＝2(an－1－1)(n≥2)，

∴数列{an－1}是以2为公比的等比数列，

首项为a1－1＝－2，

∴an－1＝－2×2n－1＝－2n，an＝－2n＋1，

∴a5＝－31，a6＝－63，

∴f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3.