Question

7．若数列{a_n}满足前n项和S_n=2a_n-4（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式可得a_n，变形利用等差数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足前n项和S_n=2a_n-4（n∈N^*），∴a₁=2a₁-4，解得a₁=4，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），化为：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为2，∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∵数列{b_n}满足b_n+1=a_n+2b_n，∴b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，∴b_n=n•2ⁿ．
（2）数列{b_n}前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．