Question

10．若动点（x，y）在曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（0＜b＜4）上变化，则x²+2y的最大值为$\frac{{b}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 用三角换元x=2cosθ，y=bsinθ，将其代入x²+2y得x²+2y=-4（sinθ-$\frac{b}{4}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$，再根据b的取值范围，结合二次函数的图象与性质，即可得到x²+2y的最大值．

解答 解：由题意，可令x=2cosθ，y=bsinθ，
则x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4=-4（sinθ-$\frac{b}{4}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$，
当0＜b＜4，可得$\frac{b}{4}$∈（0，1]，当sinθ=$\frac{b}{4}$时，
x²+2y取得最大值$\frac{{b}^{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{{b}^{2}}{4}$．

点评 本题给出椭圆上的动点（x，y），求最大值的问题，着重考查了三角换元法解决二次曲线问题和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．