Question

19．如图．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，BC∥AD，平面PCD⊥平面ABCD，E．F，G分别是PA，PD，PC的中点，PF⊥PG，AB=BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求证：EG∥平面ACF；
（2）求证：PE⊥PF．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理可得EG∥AC，故而EG∥平面ACF；
（2）利用等腰三角形的性质求出cos∠ADC，利用余弦定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得出AC⊥CD，于是AC⊥平面PCD，得出AC⊥PF，结合PF⊥PG得出PF⊥平面PAC，故而PE⊥PF．

解答 证明：（1）∵E，G分别是PA，PC的中点，
∴EG∥AC，又EG?平面ACF，AC?平面ACF，
∴EG∥平面ACF．
（2）过C作CM⊥AD于M，则DM=$\frac{1}{2}$（AD-BC）=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}CD$．
∴cos∠ADC=$\frac{DM}{CD}=\frac{1}{2}$．
设BC=1，则CD=1，AD=2，在△ACD中使用余弦定理得AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC=3．
∴AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，∵PF?平面PCD，
∴PF⊥AC，
又∵PF⊥PG，AC?平面PAC，PG?平面PAC，AC∩PG=C，
∴PF⊥平面PAC，∵PE?平面PAC，
∴PF⊥PE．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，属于中档题．