Question

17．已知方程a-x²=-2lnx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有解（其中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]
• B． [1，e²-2]
• C． [$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，e²-2]
• D． [e²-2，+∞）

Answer 1

分析 转化方程为a的表达式．通过函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的值域，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：方程a-x²=-2lnx化为a=-2lnx+x²，由f（x）=-2lnx+x²，可得f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
2x-$\frac{2}{x}$=0解得：x=1，x∈（$\frac{1}{e}$，1），f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，e），f′（x）＞0，函数是增函数，
区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值为：f（1）=1，f（e）=e²-2，f（$\frac{1}{e}$）=2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值为：1．
最大值为：e²-2．
故a=2lnx-x²在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有实根，∴实数a的取值范围为[1，e²-2]．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值、函数的零点与方程根的关系，正确求导是关键，属于中档题．