Question

8．已知变量x，y满足约束条件Ω：$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤a\end{array}\right.$，若Ω表示的区域面积为4，则z=3x-y的最大值为7．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据面积公式先求出a的值，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得B（-1，2），
若x-y=a过B，则a=-1-2=-3，此时直线方程为y=x+3
∵Ω表示的区域面积为4，
∴直线x-y=a，即y=x-a的截距-a＜3．即a＞-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y=a}\end{array}\right.$，得到A（2+a，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=a}\end{array}\right.$，得到C（$\frac{1+a}{2}，\frac{1-a}{2}$），
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$（2+a+1）•（2-$\frac{1-a}{2}$）=$\frac{1}{2}$（a+3）•$\frac{a+3}{2}$=4，
即（a+3）²=16，得a+3=4或a+3=-4，即a=1或a=-7（舍），
则直线为x-y=1，
由z=3x-y得y=3x-z，
平移直线y=3x-z由图象可知当直线y=3x-z经过点A（3，2）时，直线y=3x-z的截距最小，
此时z最大为z=3×3-2=7，
故答案为：7

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据三角形的面积，求出a的值，然后利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．