Question

3．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x²+y²=4，A（$\sqrt{3}$，0），A₁（-$\sqrt{3}$，0），点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切．
（Ⅰ）求证：|PA₁|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C₁；
（Ⅱ）若直线PA与曲线C₁的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）两圆的圆心距d=|OM|=$\frac{1}{2}$|PA₁|=R-$\frac{1}{2}$|PA|，得到点P的轨迹是以A，A₁为焦点，以4为长轴的椭圆，即可证明：|PA₁|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C₁；
（Ⅱ）若直线PA与曲线C₁的另一交点为Q，求出面积，换元，即可求△POQ面积的最大值．

解答 （Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则
两圆的圆心距d=|OM|=$\frac{1}{2}$|PA₁|=R-$\frac{1}{2}$|PA|，
所以，|PA₁|+|PA|=4＞2$\sqrt{3}$，
故点P的轨迹是以A，A₁为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P的轨迹方程C₁为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．            …（5分）
（Ⅱ）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ的方程为：x=my+$\sqrt{3}$，…（6分）
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1消去x，整理得：（m²+4）y²+2$\sqrt{3}$my-1=0，
则y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+4}$，…（8分）
△POQ面积S=$\frac{1}{2}$|OA||y₁-y₂|=2$\sqrt{3}$$•\sqrt{-\frac{3}{（{m}^{2}+4）^{2}}+\frac{1}{{m}^{2}+4}}$…（10分）
令t=$\frac{1}{{m}^{2}+4}$（0$＜t≤\frac{1}{4}$，则S=2$\sqrt{3}•\sqrt{-3{t}^{2}+t}$≤1（当且仅当t=$\frac{1}{6}$时取等号）
所以，△POQ面积的最大值1． …（12分）

点评 本题考查椭圆的定义，考查圆与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．