Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为1的等比数列{b_n}的公比为q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₄成等比数列．
（I）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）设cn=k+an+log3bn(k∈

N

+

)，若

1

c1

，

1

c2

，

1

ct

(t≥3)成等差数列，求k和t的值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：计算题

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，利用S₂=a₃，利用S₂=b₃，以及a₁，a₃，b₄成等比数列，解得a₁=3，q=3．推出a_n，b_n．
（Ⅱ）通过cn=k+an+log3bn(k∈

N

+

)，以及

1

c1

，

1

c2

，

1

ct

，成等差数列，得t=3+

8

k-1

，利用t≥3，t∈N⁺．所以k-1必须是8的正约数，得到k与t的解．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d，
由S₂=b₃，得a₁+2d=b₁q²，故有3a₁=q²，…①．
由a₁，a₃，b₄成等比数列，得a₃²=a₁•b₄，故有9a₁=q³，…②．
由①②解得a₁=3，q=3．
所以a_n=3+（n-1）3=3n．b_n=3^n-1．
（Ⅱ）因为cn=k+an+log3bn(k∈

N

+

)，所以c₁=3+k，c₂=7+k，c_t=4t+k-1．
由

1

c1

，

1

c2

，

1

ct

，成等差数列，得

2

c2

=

1

c1

+

1

ct

．
即有

2

7+k

=

1

3+k

+

1

4t+k-1

，
得t=3+

8

k-1

，
因为t≥3，t∈N⁺．所以k-1必须是8的正约数．
所以

k=2 t=11

或

k=3 t=7

或

k=5 t=5

或

k=9 t=4

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查通项公式的求法，考查计算能力．