Question

已知a，b为常数且a≠0，函数f（x）=ax²+bx，若f（2）=0且方程f（x）=x有等根．
（1）求函数f（x）的解析式及值域；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求a=-

1

2

，故函数解析式可求，然后利用二次函数的性质求解值域．
（2）利用函数的最大值可知f（x）在[m，n]上单调递增，从而可建立方程组，故满足条件的m，n存在．

解答： 解：（1）∵方程ax²+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）²=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a=-

1

2

，
∴f（x）的解析式为f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

；
∵函数是二次函数，-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

．
∴函数的值域为：（-∞，

1

2

]．
（2）∵f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴f（x）在[m，n]上单调递增，
若满足题设条件的m，n存在，则

f(m)=2m f(n)=2n

，
∴

m=-2 n=0

即这时定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，二次函数解析式的求法与运用，涉及分类讨论，转化思想．