Question

15．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，M，N是它与x轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F（0，1）是线段MD的中点，三角形MDC的面积为$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求y=g（x）在区间[2009π，2017π]上的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意根据点F（0，1）是线段MD的中点，求得最高点和最低点的坐标，可得A的值，再根据三角形MDC的面积为$\frac{2π}{3}$，求得ω的值，再根据特殊点的坐标求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）若f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，求得f（x）的最小值，可得m的取值范围．
（Ⅲ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据g（x）的周期性求得 y=g（x）在区间[2009π，2017π]上的零点个数．

解答 解：（Ⅰ）由点F（0，1）是线段MD的中点，可知A=2，三角形MDC的面积为$\frac{1}{2}×\frac{T}{2}×2×2=\frac{2π}{3}$，
所以$T=\frac{2π}{3}，ω=\frac{2π}{T}=3$，设点D（x₀，2），则M（-x₀，0），
∴$4（{x_0}-（-{x_0}））=\frac{2π}{3}，{x_0}=\frac{π}{12}$，即$D（\frac{π}{12}，2）$，所以$2sin（3×\frac{π}{12}+ϕ）=2$，
∵$0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，∴$ϕ=\frac{π}{4}$，所以函数f（x）的解析式$f（x）=2sin（3x+\frac{π}{4}）$
由$\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得$\frac{π}{4}+2kπ≤3x≤\frac{5π}{4}+2kπ（k∈Z）$
得$\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{5π}{12}+\frac{2kπ}{3}（k∈Z）$，
所以函数f（x）的单调减区间为$[\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}，\frac{5π}{12}+\frac{2kπ}{3}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）因为不等式f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，
所以m＜（f（x））_min在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$，∵$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$，∴$3x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]．f{（x）_{min}}=2sin\frac{π}{6}=1$，即m＜1．
（Ⅲ）依题意得$g（x）=f（x+\frac{π}{6}）+1=2cos（3x+\frac{π}{4}）+1$，
其最小正周期$T=\frac{2π}{3}$，由$2cos（3x+\frac{π}{4}）+1=0$，得$cos（3x+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{2}$，
所以$3x+\frac{π}{4}=2kπ±\frac{2π}{3}，k∈Z$，即$x=\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{36}，k∈Z$或$x=\frac{2kπ}{3}-\frac{11π}{36}，k∈Z$，
区间[2009π，2017π]的长度为12个周期，
若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；
若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；
故当$2009π≠\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{36}，k∈Z$且$2009π≠\frac{2kπ}{3}-\frac{11π}{36}，k∈Z$，故有12×2=24个．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω 和φ的值；正弦函数的单调性、周期性、零点，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．