Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F₁、F₂焦距为2，且与双曲线

x2

2

-y²=1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF₁交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F₂三点的圆的方程；
（3）若

F1P

=λ

QF1

，且λ∈[

1

2

，2]，求

OP

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,圆的标准方程,椭圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得c=1，a²=2，可得椭圆C的方程；
（2）先求出点Q的坐标，再利用待定系数法，即可求过P、Q、F₂三点的圆的方程；
（3）利用

F1P

=λ

QF1

，结合向量的数量积公式，结合基本不等式，即可求

OP

•

OQ

的最大值．

解答： 解：（1）由题意得c=1，a²=2…（2分）
故椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．…（3分）
（2）因为P（0，1），F₁（-1，0），所以PF₁的方程为x-y+1=0
由

x-y+1=0 x2+2y2=2

，解得点Q的坐标为(-

4

3

，-

1

3

)．  …（5分）
设过P，Q，F₂三点的圆为x²+y²+Dx+Ey+F=0…（6分）
则

1+E+F=0 1+D+F=0 17 9 - 4 3 D- 1 3 E+F=0

解得D=

1

3

，E=

1

3

，F=-

4

3

所以圆的方程为x2+y2+

1

3

x+

1

3

y-

4

3

=0…（8分）
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

F1P

=(x1+1，y1)，

QF1

=(-1-x2，-y2)
因为

F1P

=λ

QF1

，所以

x1+1=λ(-1-x2) y1=-λy2

，即

x1=-λx2-λ-1 y1=-λy2

所以

(-λx2-λ-1)2 2 +λ2y22=1 x22 2 + y 2 2 =1

，解得x2=

1-3λ

2λ

…（10分）
所以

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x2(-λx2-λ-1)-λ

y

2 2

=-

λ

2

x

2 2

-(1+λ)x2-λ
=-

λ

2

(

1-3λ

2λ

)2-(1+λ)•

1-3λ

2λ

-λ=

7

4

-

5

8

(λ+

1

λ

)…（12分）
因为λ∈[

1

2

，2]，所以λ+

1

λ

≥2，当且仅当λ=

1

λ

，
即λ=1时，取等号．

OP

•

OQ

最大值为

1

2

．             …（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．