Question

3．已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）在R上为增函数，则m的取值范围[-2，2]．

Answer 1

分析 化简去绝对值，在讨论其单调性，利用在R上为增函数，求解m的取值范围．

解答 解：x≥m时，f（x）=x|x-m|+2x-3=x²+（2-m）x-3，
对称轴为：x=$\frac{m-2}{2}$；
因为函数f（x）是增函数，对称轴要在x的最小值左边，即$\frac{m-2}{2}$≤m，
解得：m≥-2
x≤m时，f（x）=x|x-m|+2x-3=-x²+（2+m）x-3，
对称轴为x=$\frac{m+2}{2}$，
因为是增函数，对称轴要在x的最大值右边，即$\frac{m+2}{2}$≥m
解得：m≤2
综上所述：-2≤m≤2．
故答案为[-2，2]

点评 本题考查了二次函数的单调性的讨论．属于基础题．