试题分析:解:(1)由
可得
.
令
,则其对称轴为
,故由题意可知
是方程
的两个均大于
的不相等的实数根,其充要条件为
,解得
. 5分
(2)由(1)可知
,其中
,故
①当
时,
,即
在区间
上单调递增;
②当
时,
,即
在区间
上单调递减;
③当
时,
,即
在区间
上单调递增. 9分
(3)由(2)可知
在区间
上的最小值为
.
又由于
,因此
.又由
可得
,从而
.
设
,其中
,
则
.
由
知:
,
,故
,故
在
上单调递增.
所以,
.
所以,实数
的取值范围为
. 14分
(事实上,当
时,
,此时
.即,“
”是其充要条件.)
点评:解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定,以及运用导数的知识来求解最值,属于中档题。