Question

已知f（x）是R上的偶函数，且x≥0，f（x）=2^x-2•

x

，又a是函数g（x）=ln（x+1）-

2

x

的正零点，则f（-2），f（a），f（1.5）的大小关系是（　　）

• A、f（1.5）＜f（a）＜f（-2）
• B、f（-2）＜f（1.5）＜f（a）
• C、f（a）＜f（1.5）＜f（-2）
• D、f（1.5）＜f（-2）＜f（a）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先结合零点定理获得a与1.5和2的关系：1.5＜a＜2，然后利用求导获得函数f（x）的单调性，再有单调性即可获得问题的解答．

解答： 解：当a＞0时，易知g（x）为增函数，而且g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-

4

3

＜lne-1=0，
于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g（x）存在零点，
再由单调性结合题意可知a就为这个零点，因此有1.5＜a＜2．
又当x≥0时，直接求导即得f′（x）=2^xln2-

1

x

，
于是当x＞1时，我们有f'（x）＞2ln2-1=ln2²-1＞lne-1=0，
由此可见f（x）在（1，+∞）上单调增，可见必有f（1.5）＜f（a）＜f（2），
而又由于f（x）为偶函数，所以f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．
故选A．

点评：本题考查的是函数的单调性与奇偶性的综合类问题．在解答时充分体现了零点定理、导数知识的灵活应用．其中数形结合的思想、问题转化的思想在题目中也得到了充分的展现．值得同学们体会和反思．