Question

5．已知f（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}（x∈{R}）$．
（1）证明f（x）是奇函数；　　　
（2）证明f（x）是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义，即可证明f（x）是定义域R上的奇函数；　　　
（2）利用函数单调性的定义，即可证明f（x）是定义域R上的增函数．

解答 解：（1）证明：任取x∈R，都有：
$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{\frac{1}{2^x}-1}}{{\frac{1}{2^x}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数；
（2）证明：令x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
则f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．

点评 本题考查了利用定义证明函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．