Question

已知F₁，F₂分别是椭圆C₁和双曲线C₂的公共的左右焦点，e₁、e₂是C₁、C₂的离心率，若C₁、C₂在第一象限内的交点为P，且满足∠POF₂=2∠PF₁F₂，则e₁、e₂的关系是（　　）

• A、e₁²+e₂²=2e₁²e₂²
• B、e₁²+e₁e₂+e₂²=2
• C、e₁²+e₂²=2
• D、e₁e₂=2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定PF₁⊥PF₂，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论．

解答： 解：∵∠POF₂=2∠PF₁F₂，
∴∠OPF₁=∠PF₁F₂，
∴OP=c，
∴PF₁⊥PF₂，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m²+n²=4c²，
∵m+n=2a，m-n=2a′，
∴m=a+a′，n=a-a′，
∴a²+a′²=2c²，
∴e₁²+e₂²=2e₁²e₂²，
故选：A．

点评：本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，考查学生的计算能力，确定PF₁⊥PF₂是关键．