Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）没有零点且图象是连续不断的曲线，又f（x-2012）的图象关于点（2012，0）对称．若函数定义域内的三个值a、b、c足（a+b）（b+c）＞0，（a+b）（c+a）＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值（　　）

• A、大于零
• B、小于零
• C、等于零
• D、正负都有可能

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由f（x-2012）的图象关于点（2012，0）对称，得到f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数f（x）为奇函数，由f′（x）没有零点且图象是连续不断的曲线，得到函数是单调函数，由（a+b）（b+c）＞0，（a+b）（c+a）＞0，得到a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0或a+b＜0，b+c＜0，c+a＞0，将每种情况的三个不等式变形，利用函数的单调性及奇函数得到不等式，从而得到f（a）+f（b）+f（c）的符号．

解答： 解：∵f（x-2012）的图象关于点（2012，0）对称．
∴f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数f（x）为奇函数．
又f′（x）没有零点且图象是连续不断的曲线，
∴函数f（x）是单调函数，且恒增或恒减．
由（a+b）（b+c）＞0，（a+b）（c+a）＞0，得
a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0或a+b＜0，b+c＜0，c+a＞0．
若a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，且f（x）为增函数，
∵a+b＞0，
∴a＞-b，
∴f（a）＞f（-b），即f（a）+f（b）＞0，
同理有f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
∴f（a）+f（b）+f（c）＞0；
若a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，且f（x）为减函数，
∵a+b＞0，
∴a＞-b，
∴f（a）＜f（-b），即f（a）+f（b）＜0，
同理有f（b）+f（c）＜0，f（c）+f（a）＜0．
∴f（a）+f（b）+f（c）＜0．
对于a+b＜0，b+c＜0，c+a＞0同样分析．
∴f（a）+f（b）+f（c）的值正负都有可能．
故选：D．

点评：利用导函数判断函数的单调性根据是导函数大于0函数单调递增；导函数小于0，函数单调递减；判断函数的奇偶性，应该先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称．是中档题．