Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+bx}$（a∈R，b＞0）的定义域和值域相同，则a的值是-4或0．

Answer 1

分析 由已知对a分类求出函数的定义域及值域，再由定义域和值域相同求得a的值．

解答 解：若a＞0，由于ax²+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴对于正数b，f（x）的定义域为D=（-∞，-$\frac{b}{a}$]∪[0，+∞）．
但f（x）的值域为A⊆[0，+∞），故D≠A，不合题意；
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为D=[0，-$\frac{b}{a}$]，
由于$f（x）_{max}=f（-\frac{b}{a}）=\frac{b}{2\sqrt{-a}}$．
故函数的值域A=[0，$\frac{b}{2\sqrt{-a}}$]．
由题意，有$-\frac{b}{a}=\frac{b}{2\sqrt{-a}}$，∵b＞0，∴a=-4；
若a=0，则对于每个正数b，f（x）=$\sqrt{bx}$的定义域与值域都是[0，+∞），
故a=0满足条件．
∴a的值是-4或0．

点评 本题考查函数的定义域及其值域，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．