10．如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2$\sqrt{3}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C经过点（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上的动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0），其中点P在x轴上的射影为点N，点P关于原点O的对称点为点Q，求△PQN面积的最大值．

8．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点到右顶点的距离为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M、N是直线l上的两点F₁、F₂是椭圆的左右焦点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

7．设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0），直线AC，BC相交于点C，且它们的斜率之积是-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（常数a，b为正实数）．
（Ⅰ）求点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，P，Q为轨迹E上的动点，且OP⊥OQ，求$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$的值．

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y²=8$\sqrt{6}$x的焦点重合，且椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线x=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点A、B，以线段AB为直径作圆M，若圆M与y轴相切，求直线x-$\sqrt{3}$y+1=0被圆M所截得的弦长．

5．已知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，短半轴长为$\sqrt{3}$；斜率为$\frac{b}{a}$的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）试探究$\frac{|AP|}{|BQ|}$是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，长轴长为6．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．

3．如图已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，设A（0，b），若△AF₁F₂为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）已知垂直于x轴的直线交椭圆G于不同的两点B，C，且A₁，A₂分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线A₁C与A₂B交于点P（x₀，y₀），求证：点P（x₀，y₀）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$的直线l，设原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

2．如图已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，设A（0，b），若△AF₁F₂为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）已知垂直于x轴的直线交椭圆G于不同的两B，C，且A₁，A₂分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线A₁C与A₂B交于点P（x₀，y₀），求点P（x₀，y₀）的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$的直线l，设原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，求直线l的方程．