3．设a∈R，n∈N^*，求和：l+a+a²+a³+…+aⁿ=$\left\{\begin{array}{l}n+1，\;\;a=1\\ \frac{{1-{a^{n+1}}}}{1-a}，\;\;a≠1.\end{array}\right.$．

2．函数f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$（x＞1）的最小值是3；此时x=2．

1．给出下列三个类比结论：
（1）（ab）ⁿ=aⁿbⁿ与（a+b）ⁿ类比，则有（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ；
（2）log_a（xy）=log_ax+log_ay与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；
（3）（a+b）²=a²+2ab+b²与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²类比，则有（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²；
期中结论正确的个数是（　　）

A．

．3

B．

.2

C．

.1

D．

．0

20．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC，侧面A₁B₁BA和B₁C₁CB都是边长为2的正方形，D为AC的中点．
（1）求证；AB₁∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁；
（3）求二面角B₁-BC₁-D的正弦值．

19．已知在平面内点P到两定点${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=-ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$（其中O为坐标原点），求m的值．

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（3）设PA=1，AD=2，三棱锥P-ACD的体积V=$\frac{1}{3}$，求点A到平面PBC的距离．

17．在△ABC中AC=BC=3，AB=2，P为三角形ABC内切圆圆周上一点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值与最小值之差为（　　）

A．

4

B．

2$\sqrt{3}$

C．

2$\sqrt{2}$

D．

2

16．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．设直线l：x=my+1（m≠0）与椭圆C相交于A，B两点，点A关于x轴对称点为A′．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程；
（3）试问：当m变化时，直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

15．下列四个命题：
（1）“?x∈R，2x+5＞0”是全称命题；
（2）命题“?x∈R，x²+5x=6”的否定是“?x₀∉R，使x₀²+5x₀≠6”；
（3）若|x|=|y|，则x=y；
（4）若p∨q为假命题，则p、q均为假命题．
其中真命题的序号是（　　）

A．

（1）（2）

B．

（2）（4）

C．

（1）（4）

D．

（1）（2）（3）（4）

14．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（已知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的面积公式为S=πab，柱体体积为底面积乘以高．）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的$\sqrt{2}$倍，试确定M、N的位置以及h的值，使总造价最少．