【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（， 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取两点， 与原点构成，且满足，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为，

，消去参数可知曲线是圆心为，半径为的圆，由直线与曲线相切，可得： ；则曲线C的方程为， 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得

可得曲线C的极坐标方程.

(2)由（1）不妨设M（），，（），

，

，

由此可求面积的最大值.

试题解析：（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，

曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得： ；可知曲线C的方程为，

所以曲线C的极坐标方程为，

即.

(2)由（1）不妨设M（），，（），

，

，

当 时， ，

所以△MON面积的最大值为.

【题型】解答题
【结束】
23

【题目】已知函数的定义域为；

（1）求实数的取值范围；

（2）设实数为的最大值，若实数， ， 满足，求的最小值.

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax，a＞0．
（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；
（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．

【题目】已知函数， ，在处的切线方程为.

（1）求， ；

（2）若，证明： .

【答案】（1）， ；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于 的方程组，解出即可；

（2）由（1）可知， ，

由，可得，令， 利用导数研究其单调性可得

，

从而证明.

试题解析：（（1）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（1）可知， ，

由，可得，

令，

，

令

当时， ， 单调递减，且；

当时， ， 单调递增；且，

所以在上当单调递减，在上单调递增，且，

故，

故.

【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（， 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取两点， 与原点构成，且满足，求面积的最大值.

【题目】在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是BC，A1B1的中点．

（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值．

【题目】已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 =1．
（1）求角A；
（2）若a=4 ，求b+c的取值范围．

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意可求得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，

当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时，.

当直线、的斜率存在时，,设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理计算可得直线的斜率为，直线的斜率为，则.综上可得：直线与的斜率之积为定值.

（Ⅰ）设由题，

解得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，当直线的斜率不存在时，

设，则，直线的方程为代入，

可得 ，，则,

直线的斜率为，直线的斜率为，

，

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，设直线的方程为，

则由消去可得：，

又，则，代入上述方程可得:

，，

则 ，

设直线的方程为，同理可得 ，

直线的斜率为

直线的斜率为， .

所以，直线与的斜率之积为定值，即.

【点睛】

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】已知函数f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））处的切线方程为（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）若方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，证明：x2－x1≤1＋．

【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．

（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。

（参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【答案】（Ⅰ）甲方案的函数关系式为： ，乙方案的函数关系式为：；（Ⅱ）①见解析，②见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ， 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：.

（Ⅱ）①由题意求得X的分布列，据此计算可得，，.

②答案一：由以上的计算可知，远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：由以上的计算结果可以看出，，所以小明应选择乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ，

乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：

（Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：

所以的分布列为：

所以

所以的分布列为：

所以

②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，数学期望与方差的含义与实际应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且对任意正整数n，都有an= +2成立．
（1）记bn=log2an ， 求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

【题目】四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．

（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由线面平行的性质定理可得，据此可知四边形BCDM为平行四边形，据此可得.

（Ⅱ）由几何关系，在平面内过点作直线于点，以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立空间坐标系，据此可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，据此计算可得二面角余弦值为.

（Ⅰ）因为平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以，

因为,所以四边形BCDM为平行四边形，又,所以M为AB的中点.

因为 .

（Ⅱ）因为 ， ，所以平面，又因为平面，

所以平面平面，平面平面，

在平面内过点作直线于点，则平面，

在和中，因为，所以，

又由题知，所以所以，

以下建系求解.以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，

则，，，，，

，，，，

设平面的法向量，则，所，

令得为平面的一个法向量，

同理得为平面的一个法向量，

，因为二面角为钝角.

所以二面角余弦值为.

【点睛】

本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

【题型】解答题
【结束】
19

（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。

（参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【题目】已知等比数列{}的前n项和为，且满足2＝＋m（m∈R）．

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}满足，求数列{}的前n项和．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)法一：由前n项和与数列通项公式的关系可得数列的通项公式为；

法二：由题意可得，则，据此可得数列的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，裂项求和可得.

(Ⅰ)法一：

由得，

当时，，即，

又，当时符合上式，所以通项公式为.

法二：

由得

从而有，

所以等比数列公比，首项，因此通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

，

.

【点睛】

本题主要考查数列前n项和与通项公式的关系，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【题型】解答题
【结束】
18

（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．