【题目】(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.

（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.

求矩阵的特征值和特征向量.

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值.

【题目】已知函数的图像在上连续不断，定义：

（），（），其中表示函数在上的最小值， 表示函数在上的最大值，若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.

（1）若， ，试写出， 的表达式；

（2）已知函数， ，判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由；

（3）已知，函数，是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

数学附加题

【题目】设数列的前n项和为，已知（p、q为常数， ），又， ， .

（1）求p、q的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在正整数m、n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由.

【题目】一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. 是等腰梯形， 米， （在的延长线上， 为锐角）. 圆与都相切，且其半径长为米. 是垂直于的一个立柱，则当的值设计为多少时，立柱最矮？

【题目】【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】已知椭圆的中心为坐标原点，椭圆短轴长为，动点（）在椭圆的准线上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；

（3）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值.

【题目】已知函数f(x)＝ (a∈R)．

(Ⅰ)若a＝1，求曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；

(Ⅱ)求f(x)的极值；

(Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)＝1的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．

【题目】已知椭圆C： (a>b>0)过点(1， )，且离心率e＝.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D，且满足·＝0，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；

(Ⅱ)点P是SB上一点，若SB⊥平面APC，试确定点P的位置．

【题目】某种产品按质量标准分为,,,,五个等级.现从一批该产品随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：

（1）在抽取的20个产品中，等级为5的恰有2个，求,；

（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有产品中，任意抽取2个，求抽取的2个产品等级恰好相同的概率.