【题目】椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的左、右顶点， （）为椭圆上一动点，设直线分别交直线： 于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.

【答案】(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程 并与离心率联立方程组，解得， （2）根据点斜式得直线方程，与直线联立解得点坐标，根据向量关系得为直径的圆方程，最后代人椭圆方程进行化简，并根据恒等式成立条件求定点坐标.

试题解析：(1)由已知，

∴①

∵椭圆过点，

∴②

联立①②得，

∴椭圆方程为

（2）设，已知

∵，∴

∴都有斜率

∴

∴③

∵

∴④

将④代入③得

设方程

∴方程

∴

由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为

则

∴

∴，∴

∴存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.

点睛：定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】已知函数，曲线在处的切线经过点.

（1）证明： ；

（2）若当时， ，求的取值范围.

【题目】已知函数。

（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。

（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；

（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x时，

恒有f（x）＞g（x）成立。

【题目】如图，四棱柱的底面为菱形， ， ， 为中点.

（1）求证： 平面；

（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】试题分析：（1）设为的中点，根据平几知识可得四边形是平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得的长.

试题解析：（1）证明：设为的中点，连

因为，又，所以 ，

所以四边形是平行四边形，

所以

又平面， 平面，

所以平面.

（2）因为是菱形，且，

所以是等边三角形

取中点，则，

因为平面，

所以，

建立如图的空间直角坐标系，令，

则， ， ， ，

， ， ，

设平面的一个法向量为，

则且，

取，设直线与平面所成角为，

则，

解得，故线段的长为2.

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的左、右顶点， （）为椭圆上一动点，设直线分别交直线： 于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.

【题目】已知函数，直线是图象的一条对称轴．

（1）求的单调递减区间；

（2）已知函数的图象是由图象上的各点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向左平移个单位长度得到，若，，求的值．

【题目】某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点刚好是边长为的等边三角形的三个顶点.

（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准区域射击（不会打到外），则此次射击的着弹点距的距离都超过的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）

(Ⅱ) 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间内.现从这次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为和）进行技术分析.求事件“”的概率.

【题目】经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：

其中： ， ，

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到0.01）

（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？

【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)中度高血压人群.

【解析】试题分析：（1）将数据对应描点，即得散点图，（2）先求均值，再代人公式求，利用求，（3）根据回归直线方程求自变量为180时对应函数值，再求与标准值的倍数，确定所属人群.

试题解析：(1)

（2）

∴

∴回归直线方程为.

（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为（mmHg）∵

∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.

【题型】解答题
【结束】
19

【题目】如图，四棱柱的底面为菱形， ， ， 为中点.

（1）求证： 平面；

（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.

【题目】已知三个内角所对的边分别是，若.

（1）求角；

（2）若的外接圆半径为2，求周长的最大值.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边角关系化为边的关系，再根据余弦定理求角，（2）先根据正弦定理求边,用角表示周长，根据两角和正弦公式以及配角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求最大值.

试题解析：（1）由正弦定理得，

∴，∴，即

因为，则.

（2）由正弦定理

∴， ， ，

∴周长

∵，∴

∴当即时

∴当时， 周长的最大值为.

【题型】解答题
【结束】
18

其中： ， ，

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到0.01）

（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？

【题目】设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点， ，则与的面积之比__________．

【答案】

【解析】

由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为。

如图，设，过A,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E,N，则

，解得。

把代入抛物线，解得。

∴直线AB经过点与点，

故直线AB的方程为，代入抛物线方程解得。

∴。

在中， ，

∴

∴。答案：

点睛：

在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．

【题型】填空题
【结束】
17

【题目】已知三个内角所对的边分别是，若.

（1）求角；

（2）若的外接圆半径为2，求周长的最大值.

【题目】已知数列中.

（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；

（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.

【题目】这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：

（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？

（2）求出关于的线性回归方程（系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.

参考数据：，，，.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，.