【题目】已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；

（2）求实数的取值范围；

（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

【题目】某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表：

污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，，，其中表示月数，、、分别表示污染度．

（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；

（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过．

【题目】已知正整数数列满足：，，（）.

（1）已知，，试求、的值；

（2）若，求证：；

（3）求的取值范围.

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆（）的左右两个焦点分别是、，在椭圆上运动.

（1）若对有最大值为120°，求出、的关系式；

（2）若点是在椭圆上位于第一象限的点，过点作直线的垂线，过作直线的垂线，若直线、的交点在椭圆上，求点的坐标；

（3）若设，在（2）成立的条件下，试求出、两点间距离的函数，并求出的值域.

【题目】如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.

（1）试将公路的长度表示为的函数，并写出的取值范围；

（2）试确定的值，使得公路的长度最小，并求出其最小值.

【题目】设函数在上有定义，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质.

（1）当，且在区间上具有性质时，求常数的取值范围；

（2）已知（），且当时，，判别在区间上是否具有性质，试说明理由.

【题目】如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧棱底面，且，是的中点．

（1）求直三棱柱的全面积；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

【题目】已知函数.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若存在，使得对恒成立，求的最大值.

【题目】如图1，在平面四边形中，，现将沿四边形的对角线折起，使点运动到点，如图2，这时平面平面.

（1）求直线与平面所成角的正切值；

（2）求二面角的正切值.

【题目】已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，其中为自然对数的底数，求证：函数有2个不同的零点；

（3）若对任意的恒成立，求实数的最大值.