Question

15．某同学在距离地面h高处将一小石子以水平速度v₀抛出，测得小石子从抛出点到落地点的水平距离为x．已知地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球的自转，空气阻力不计，地球表面重力加速度未知，求地球的第一宇宙速度大小．

Answer 1

分析 第一宇宙速度等于卫星贴近地球表面做圆周运动的速度，其轨道半径近似等于地球的半径，由平抛运动的规律求出地球表面的重力加速度，根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．根据根据万有引力提供向心力求出第一宇宙的速度

解答 解：小石子做平抛运动时，有
竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
水平方向：$x={v}_{0}^{\;}t$
得：$g=\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}_{\;}^{2}}$
由万有引力定律可知：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{x}\sqrt{2hR}$
答：地球的第一宇宙速度大小$\frac{{v}_{0}^{\;}}{x}\sqrt{2hR}$

点评 解决本题的关键知道不考虑地球自转时，万有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于卫星贴着地球表面做匀速圆周运动的速度．