Question

12．如图所示，一质量为m=2kg的滑块从半径为R=0.45m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A处由静止滑下，A点和圆弧对应的圆心O点等高，圆弧的底端B与水平传送带平滑相接．已知传送带匀速运行的速度为v₀=5m/s，B点到传送带右端C点的距离为L=4m．当滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同．取g=10m/s²，求：
（1）滑块到达底端B时对轨道的压力；
（2）滑块与传送带间的动摩擦因数μ；
（3）此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）滑块从A运动到B的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律或动能定理，求出滑块到达底端B时的速度．滑块经过B时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿运动定律求解滑块对轨道的压力；
（2）滑块滑上传送带后向右做匀加速运动，由题，滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同，根据动能定理或牛顿第二定律、运动学公式求解动摩擦因数μ；
（3）根据运动学公式求出滑块从B到C的运动时间，即可求出此时间内传送带的位移，得到滑块与传送带的相对位移，因摩擦而产生的热量Q等于滑动摩擦力与相对位移大小的乘积．

解答 解：（1）设滑块到达底端B时的速度大小为v_B，滑块从A运动到B的过程中，由动能定理，有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
代入数据可解得：${v_B}=\sqrt{2gR}=3m/s$
在B端，由牛顿第二定律有：
$N-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
所以有：N=3mg=60N
根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力大小为60N，方向竖直向下．
（2）滑块从B运动到C的过程中，由动能定理得：$μmgL=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}m{v_B}^2$
代入数据可得：μ=0.2
（3）滑块在传送带上滑动的加速度为：$a=\frac{μmg}{m}=2m/{s^2}$
滑块从B到C的时间为：$t=\frac{{{v_0}-{v_B}}}{a}=1s$
在此过程中传送带运动的距离为：x=v₀t=5m
滑块与传送带的相对位移为：△x=x-L=1m
所以摩擦生热为：Q=μmg△x=4J
答：（1）滑块到达底端B时对轨道的压力是60N，方向竖直向下；
（2）滑块与传送带间的动摩擦因数μ是0.2；
（3）此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量Q是4J．

点评 本题是动能定理、向心力、牛顿第二定律、运动学公式的综合应用，容易出错的地方是：Q=μmg△x，应根据相对位移求解摩擦生热．