科目：gzsx 来源： 题型：

定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=|

1

2

.

x1	y1 1
x2	y2 1
x3	y3 1

.

|．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点F斜率为

4

3

的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P（3，0），试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．

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科目：gzsx 来源： 题型：

定义在实数集上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[-3，-2]上单调减，又α、β是锐角三角形的二个内角，则f（sinα）与f（cosβ）的关系是

f（sinα）＞f（cosβ）

．（用＞，＜，≥，≤表示）．

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科目：gzsx 来源： 题型：

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x）在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对∀x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，证明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

定义1：在△ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用表示，例如图1中，，图2中，.
定义2：在平面内任取一个△ABC和点P（点P不在△ABC的三边所在直线上），称有序数组（，，）为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作，例如图3中，菱形ABCD的边长为2，，则，点G关于△ABC的“面积坐标”为.在图3中，我们知道，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：.
应用新知：
（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则，点D关于△ABC的“面积坐标”是；探究发现：
（2）在平面直角坐标系中，点，
①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于的“面积坐标”为，
试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由；
②若点是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于的“面积坐标”（用x,y表示）；
解决问题：
（3）在（2）的条件下，点，点Q在抛物线上，求当的值最小时，点Q的横坐标.

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科目：czsx 来源：不详 题型：解答题

定义1：在△ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用

表示，例如图1中，

，图2中，

.
定义2：在平面内任取一个△ABC和点P（点P不在△ABC的三边所在直线上），称有序数组（

，

）为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作

，例如图3中，菱形ABCD的边长为2，

，则

，点G关于△ABC的“面积坐标”

为

.在图3中，我们知道

，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：

.
应用新知：
（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则

，点D关于△ABC的“面积坐标”是；探究发现：
（2）在平面直角坐标系

中，点

，
①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于

的“面积坐标”为

，
试探究

与

之间有怎样的数量关系，并说明理由；
②若点

是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于

的“面积坐标”（用x,y表示）；
解决问题：
（3）在（2）的条件下，点

，点Q在抛物线

上，求当

的值最小时，点Q的横坐标.

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科目：czsx 来源：2013-2014学年北京市西城区中考一模数学试卷（解析版） 题型：解答题

定义1：在△ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用表示，例如图1中，，图2中，.

定义2：在平面内任取一个△ABC和点P（点P不在△ABC的三边所在直线上），称有序数组（，，）为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作，例如图3中，菱形ABCD的边长为2，，则，点G关于△ABC的“面积坐标”为.在图3中，我们知道，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：.

应用新知：

（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则，点D关于△ABC的“面积坐标”是；探究发现：

（2）在平面直角坐标系中，点，

①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于的“面积坐标”为，

试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由；

②若点是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于的“面积坐标”（用x,y表示）；

解决问题：

（3）在（2）的条件下，点，点Q在抛物线上，求当的值最小时，点Q的横坐标.

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科目：gzsx 来源： 题型：填空题

定义在实数集上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[-3，-2]上单调减，又α、β是锐角三角形的二个内角，则f（sinα）与f（cosβ）的关系是________．（用＞，＜，≥，≤表示）．

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科目：gzsx 来源：不详 题型：填空题

定义在实数集上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[-3，-2]上单调减，又α、β是锐角三角形的二个内角，则f（sinα）与f（cosβ）的关系是______．（用＞，＜，≥，≤表示）．

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科目：gzsx 来源：不详 题型：解答题

定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=|

1

2

.

x1	y1 1
x2	y2 1
x3	y3 1

.

|．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点F斜率为

4

3

的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P（3，0），试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．

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科目：gzsx 来源：2006-2007学年上海市卢湾区高二（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=

．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点F斜率为

的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P（3，0），试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．

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科目：gzsx 来源：2012年广东省实验中学考前热身训练数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x）在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对∀x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

，证明：

（i，n∈N^*）．

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科目：czsx 来源： 题型：

定义1：在△ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点A，B，C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”．“有向面积”用

.

S

表示，例如图1中，

.

S △ABC

=S_△ABC，图2中，

.

S △ABC

=-S_△ABC．
定义2：在平面内任取一个△ABC和点P（点P不在△ABC的三边所在直线上），称有序数组（

.

S △PBC

，

.

S △PCA

，

.

S △PAB

）为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作

.

P

(

.

S △PBC

，

.

S △PCA

，

.

S △PAB

)，例如图3中，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，则

.

S △ABC

=

3

，点D关于△ABC的“面积坐标”

.

D

(

.

S △DBC

，

.

S △DCA

，

.

S △DAB

)为

.

D

(

3

，-

3

，

3

)．
在图3中，我们知道S_△ABC=S_△DBC+S_△DAB-S_△DCA，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：

.

S △ABC

=

.

S △DBC

+

.

S △DAB

+

.

S △DCA

．
应用新知：
（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则

.

S △ABC

=

，点D关于△ABC的“面积坐标”是

；
探究发现：
（2）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（-1，0）．
①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于△ABO的“面积坐标”为

.

P

（m，n，k），试探究m+n+k与

.

S △ABO

之间有怎样的数量关系，并说明理由；
②若点P（x，y）是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于△ABO的“面积坐标”（用x，y表示）；
解决问题：
（3）在（2）的条件下，点C（1，0），D（0，1），点Q在抛物线y=x²+2x+4上，求当S_△QAB+S_△QCD的值最小时，点Q的横坐标．

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科目：czsx 来源： 题型：

定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数x₁，x₂，用|x₁-x₂|表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）我们把|x₁-x₂|+|y₁-y₂|叫做A，B两点之间的直角距离，记作d（A，B）．
（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（-1，3），则d（O，P）=

；
（2）已知C是直线上y=x+2的一个动点，
①若D（1，0），求点C与点D的直角距离的最小值；
②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值．

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科目：czsx 来源： 题型：

定义1：在中，若顶点，，按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有向面积”；若顶点

，，按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为的“有向面积”。“有向面积”用表示，

例如图1中，，图2中，。

定义2：在平面内任取一个和点（点不在的三边所在直线上），称有序数组（，，）为点关于的“面积坐标”，记作，例如图3中，菱形的边长为2，，则，点关于的“面积坐标”为。

在图3中，我们知道，利用“有向面积”，我们也可以把上式表示为：

。

应用新知：

（1）如图4，正方形的边长为1，则，点关于的“面积坐标”是；

探究发现：

（2）在平面直角坐标系中，点，.

①若点是第二象限内任意一点（不在直线上），设点关于的“面积坐标”为，

试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由；

②若点是第四象限内任意一点，请直接写出点关于的“面积坐标”（用表示）；

解决问题：

（3）在（2）的条件下，点，，点在抛物线上，求当的值最小时，点的横坐标。

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科目：gzsx 来源： 题型：

定义两个平面向量的一种新运算

a

⊗

b

=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，（其中＜

a

，

b

＞表示

a

，

b

的夹角），则对于两个平面向量

a

，

b

，下列结论不一定成立的是（　　）

A、

a

⊗

b

=

b

⊗

a

B、（

a

⊗

b

）²+（

a

•

b

）²=|

a

|²•|

b

|²

C、λ（

a

⊗

b

）=（λ

a

）⊗

b

D、若

a

⊗

b

=0，则

a

与

b

平行

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科目：gzsx 来源： 题型：

下图表示了一个由区间（0，1）到实数集的映射过程：区间（0，1）

中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3，图3中直线AM与x轴交于点N n 0，则m的象就是n，记作f（m）=n，下列正确命题的序号是

．（填出所有正确命题的序号）
①f（

1

2

）=0；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（

1

2

，0）对称．

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科目：gzsx 来源： 题型：

如图表示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则 m的象就是n，记作f（m）=n．

（1）方程f（x）=0的解是x=

1

2

1

2

；
（2）下列说法中正确的是命题序号是

③④

．（填出所有正确命题的序号）
①f(

1

4

)=1；②f（x）是奇函数；③f（x）在定义域上单调递增；④f（x）的图象关于点(

1

2

，0)对称．

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科目：gzsx 来源：新疆乌鲁木齐一中2012届高三第二次月考数学理科试题 题型：022

下图表示了一个由区间(0，1)到实数集R的映射过程：区间(0，1)中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0，1)，如图3，图3中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n

(1)方程f(x)＝0的解是x＝________；

(2)下列说法中正确的是________．(填出所有正确命题的序号)

①；

②f(x)是奇函数；

③f(x)在定义域上单调递增；

④f(x)的图象关于点对称．

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科目：gzsx 来源：安徽省淮北一中2012届高三第三次月考数学文科试题（人教版） 题型：022

下图表示了一个由区间(0，1)到实数集R的映射过程：区间(0，1)中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0，1)，如图3．对于图3中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n，

下列说法中正确的是________．(填出所有正确命题的序号)

①；

②f(x)是奇函数；

③f(x)在定义域上单调递增；

④f(x)的图象关于点对称；

⑤f(x)的图象关于直线对称；

⑥f(x)的最小正周期为1；

⑦f(x)的最大值为1．

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科目：gzsx 来源：安徽省淮北一中2012届高三第三次月考数学理科试题(人教版) 题型：022

下图表示了一个由区间(0，1)到实数集R的映射过程：区间(0，1)中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0，1)，如图3．对于图3中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则 m的象就是n，记作f(m)＝n，