设椭圆x2a2-y2b2=1（a＞b＞0答案及详细解析过程——青夏教育精英家教网—

科目：gzsx 来源： 题型：

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆（x+1）²+(y-

3

)2=16相交于M，N两点，且|MN|=

5

8

|AB|，求椭圆的方程．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线L₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线L交椭圆于A、B两点；
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上

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设椭圆

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁、F₂，若椭圆上存在一点Q，使∠F₁QF₂=120°，椭圆离心率e的取值范围为（　　）

A．

3

2

≤e＜1

B．

6

3

＜e＜1

C．0＜e≤

6

3

D．

1

2

＜e＜1

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如图所示，设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的面积为abπ，过坐标原点的直线l、x轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s、t，则s关于t的函数图象大致形状为图中的（　　）

A、

B、

C、

D、

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（2011•天津模拟）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），若四边形DMEN的面积为

27

7

，求DE的直线方程．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的左焦点为F₁，上顶点为A，过点A与AF₁垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P、Q两点，且P分向量

AQ

所成的比为λ．
（1）当λ∈（1，2）时，探求椭圆离心率（

1

e

-e）²的取值范围；
（2）当λ=

8

5

时，过A、Q、F₁三点的圆恰好与直线L：x+

3

y+3=0相切，求椭圆的方程．

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如图，设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的点，且

PF1

•

PF1

•

PF2

=0；如果△PF₁F₂的面积为

1

3

a²，那么该椭圆的离心率为

6

3

6

3

．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁，F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），当直线MN的倾斜角为60°时，试求四边形DMEN面积．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|．
（I）证明：a=

2

b；
（II）设Q₁，Q₂为椭圆上的两个动点，OQ₁⊥OQ₂，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

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（2014•兰州一模）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且

AF1

=2

AF2

．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

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在平面直角坐标系xOy中，设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2c．以点O为圆心，a为半径作圆M．若过点P（

a2

c

，0）所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为

．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx+c=0的两个实数根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）必在（　　）

A、圆x²+y²=3内

B、圆x²+y²=3上

C、圆x²+y²=3外

D、以上三种都可能

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B，问在x轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．

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（2010•崇明县二模）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与双曲线

x2

3

-

y2

1

=1有相同的焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），P为椭圆上一点，△PF₁F₂的最大面积等于2

2

．过点N（-3，0）且倾角为30°的直线l交椭圆于A、
B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：点F₁（-c，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）设E、F是直线l上的不同两点，以线段EF为直径的圆过点F₁（-c，0），求|EF|的最小值并求出对应的圆方程．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，已知|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长S的最大值．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直．
①求椭圆离心率e的取值范围；
②若直线PF₁与椭圆另一个交点为Q，当e=

2

，且△PQF₂的面积为12时，求椭圆方程．

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设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右准线与x轴的交点为M，以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，若△OMN为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为

2

．

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（2013•天津）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为

3

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

4

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若

AC

•

DB

+

AD

•

CB

=8，求k的值．

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设椭圆x2a2-y2b2=1（a＞b＞0答案解析