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    精英家教网 > 试题搜索列表 >定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R，都有f′(x)＜ 1 2 ，则不等式f(x2)＞ x2+1 2 %

    定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R，都有f′(x)＜ 1 2 ，则不等式f(x2)＞ x2+1 2 %答案解析

    科目：gzsx 来源： 题型：

    对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
    ①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
    ②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
    （1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （3）（理）若F（x）=mx+
    		x2+2x+n
    ，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
    （文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．

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    科目：gzsx 来源：2009-2010学年上海市十一校高三联考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
    ①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
    ②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
    （1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （3）（理）若F（x）=mx+，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
    （文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．

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    科目：gzsx 来源： 题型：解答题

    对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
    ①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
    ②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
    （1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （3）（理）若F（x）=mx+数学公式，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
    （文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(
    x1+x2
    2
    )≤
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，且a≠0）．
    （1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
    （2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
    （Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
    （Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
    （Ⅲ）若f（1）=2，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），记Sn=
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +…+
    1
    an
    ，且对一切正整数n有f(
    		1-m
    )＞2Sn    恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足：对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=3．
    （1）求f（0），f（-1）的值；
    （2）若当x＞0时，有f（x）＞1，判断函数f（x）的单调性，并说明理由．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的函数y=f（x）满足：对任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(
    		x2+y2
    )    成立，f（1）=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
    （1）求f（-1）的值，并判断y=f（x）的奇偶性；
    （2）证明：y=f（x）在（0，+∞）上的单调递增；
    （3）若关于x的方程2f(x)=f(
    a(x-1)
    x+1
    )    在（2，+∞）上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
    （1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明
    （2）解不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    （A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2
    （1）求f（0）、f（-1）的值；  （2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
    （B类）已知定义在R上的奇函数f(x)= 
    -2x+b
    2x+1+a
    ．
    （1）求a，b的值；
    （2）若不等式-m2+(k+2)m-
    3
    2
    ＜f(x)＜m2+2km+k+
    5
    2
    对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
    （3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    （2012•梅州二模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．数列{an}满足an=1-3k，f（an+1）=
    1
    f(
    2
    3
    an)
    ．
    （1）求f（0）的值，并证明f（x）是定义域上的增函数：
    （2）求数列{an}的通项公式；
    （3）设0＜a＜bnSn为数列{an}的前n项和，是否存在实数k，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，对任意x、y满足f（x-y）=f（x）•g（y）-g（x）•f（y），且f（-2）=f（1）≠0，则g（1）+g（-1）=（　　）

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    已知定义在R上的函数f（x）=x2+ax+b其函数图象经过原点，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
    （Ⅰ）求实数 a，b的值；
    （Ⅱ）若函数g（x）是定义在R上的奇函数，且满足当x≥0时，g（x）=f（x），则求g（x）的解析式．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
    （1）求证f（x）为奇函数；
    （2）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（　　）
    A、（-1，-1+2
    		2
    ）
    B、（-∞，-1+2
    		2
    ）
    C、（-∞，-1）
    D、[-1+2
    		2
    ，+∞）

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且对任意的a∈R，都有f（-a）+f（a）=0，若x，y满足不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0，则当1≤x≤4时，2x-y的最大值为（　　）

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x）＜
    1
    2
    ，则不等式f（x2）＞
    x2+1
    2
    的解集为（　　）

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    给出下列四个命题：
    ①如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．
    ②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
    ③已知曲线C：
    x2
    9
    -
    y2
    16
    =1    和两定点E（-5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|-|PF||＜6．
    ④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．
    上述命题中错误的个数是（　　）

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    对于无穷数列{xn}和函数f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），则称f（x）是数列{xn}的母函数．
    （Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
    1
    2
    )=1    ；又数列{an}满足：an=g(
    1
    2n
    )    ．
    求证：（1）f（x）=x+2是数列{2nan}的母函数；
    （2）求数列{an}的前项n和Sn．
    （Ⅱ）已知f(x)=
    2012x+2
    x+2013
    是数列{bn}的母函数，且b1=2．若数列{
    bn-1
    bn+2
    }    的前n项和为Tn，求证：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
    （1）试求f（0）的值；
    （2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
    （3）若对任意x∈[1，4]时，不等式f（x2+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范围．

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    科目：gzsx 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x），满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2
    （1）求f（0）的值；
    （2）求证：对任意的x∈R，都有f（x）＞0
    （3）解不等式f（3-x2）＞4．

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