1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步.

[例1]设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内

(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

(3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

解:(1) =1200(种)　　　　 (2)-1=119(种)　　　　　　　　　　

(3)不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：×9=45

第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：

　 先让1号球放，1号球放到哪个盒中就让哪个球放，……

有 4×(2+3×3)=44 (种) , ∴ 满足条件的放法数为：-45-44=31(种)

　 [例2]某运输公司有3个车队,每个车队有10辆汽车, 现从这3个车队中选派6辆汽车执行一项运输任务,每个车队至少1辆共有多少种选派方法?

　 分析：这里所谓不同的选派方法，只是每个车队派车数目的不同，是相同元素的分组问题--用“插板法”

　 解：把6个派车指标排成一排，是一种排法，有5个空，插2个板，分成3组即可，共有　　 =10(种)

◆拓展引伸：方程x+y+z=7有多少组正整数解？(看成7个相同的元素分给3人)

　 若求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢？(让3人每人拿出1个元素，如上法分10个元素)

[例3]某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中共有男女同学多少人？

解：设有男生n人，女生8-n人，则有即(n-1)n(8-n)=60.

又

60的小于等于7的因数有1、2、3、4、5、6，因为n-1和n相邻，

∴n=5,8-n=3,即男生5人，女生3人，或n=6,8-n=2，即男生6人，女生2人。

◆　 提炼方法：1.引进待定的未知数,列方程求解;

2.“先取元素，后排顺序”.一类重要题型和方法。

[例4]一栋7层的楼房备有电梯,现有A,B,C,D,E五人从一楼进电梯上楼，求

(1)有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数.

(2)在(1)的条件下,一层只能下1个人,共有多少种情况?

解: (1)分A上不上7楼两类：

　A上7楼，有5⁴种； A不上7楼，有4×4×4³种.

共有5⁴+4×4×4³＝1649种．

(2)分2楼下人和不下人两类,每类再分A上不上7楼两种情况.

2楼下人,有种;　 2楼不下人,有种

∴共有 =504种情况.

◆提炼方法：题(1)是计数原理,题(2)是排列组合,应注意区分.

[研讨.欣赏](1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?

(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?

解：(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法.

所以，共有A(C+C)=60(种).

下面再看另一种构造方法：

先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有AC种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A·C=60.

(2)可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为A·A=480.

5.用隔板法：C=C=36.　 6. 600;　 7. 18　 6;　 8. 8424.

4.先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有A₄⁴=24种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:

7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④两种放法.综上所述:共有A₄⁴×2=48种放法.故选B.

8. (2005浙江)从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．

简答:1-3.DBBB; 3.(1)前排一个，后排一个，2C·C=192.

(2)后排坐两个(不相邻)，2(10+9+8+…+1)=110.

(3)前排坐两个，2·(6+5+…+1)+2=44个.

∴总共有192+110+44=346个.

解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.

∴总共有A+2+2=346个.答案：B

7. (2005春北京)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax²+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有__________个，其中不同的偶函数共有__________个．(用数字作答)

6.(2006陕西) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有　　　 种

5.某校准备参加2008年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_______种.

4. (2005江苏) 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为　　　　　　　 (　 )

A．96　　　　 B.48　　　　 C.24　　　　 D.0

3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是　　　　　 (　 )

A.234　 　　　　 B.346　 　　　　 C.350　 　　　　　　　 D.363