3.对于函数y=cos(sinx),正确的命题是( C )
A.它的定义域是[-1,1] B.它是奇函数 C.y∈[cos1,1] D.不是周期函数
2.己知0<a<1,<α<,则实数,,
的大小关系是 ( )
(A)M>N>P (B)M>P>N (C)M<N<P (D)M<P<N
1.(2004北京西城一模)设0<|α|<,则下列不等式中一定成立的是
A.sin2α>sinα B.cos2α<cosα
C.tan2α>tanα D.cot2α<cotα
3.三角函数综合性题目中常用到换元思想、整体代换及数形结合等;
实际应用问题主要是找出三角形及其边角关系。
同步练习 4.7 三角函数的综合应用
[选择题]
2.正、余弦定理解斜三角形的方法;
1. 三角函数的图象、性质和恒等变形,反三角函数表示角;
3.要使|AB|2取到最小值,必须保证两处等号同时成立.
[例1]求角(用反三角函数表示):
(1)已知tanx=3,x∈[0.2π]求x的值;
(2)已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, )
求α+β.
解:(1)在上,时,tanx=3;
在上,,
∴x=arctan3或π+arctan3.
(2)由;得
sinα=,从而cosα=,且cosβ=-
又α+β∈(π,2π)?
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.
∴α+βπ=
即α+β=2π-arccos
◆提炼方法:求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如本题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。
[例2](2007启东质检)已知A、B、C是三内角,向量,且,
(1)求角A;
(2)若,求
解:(1)∵ ∴,即
,
∵,∴,∴
(2)由题知,整理得
∴,∴,∴或
而使,舍去,∴
∴
[例3]在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台
风中心位于城市O(如图)的东偏南方向
300 km的海面P处,并以20 km / h的速度向西偏北的
方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km ,
并以10 km / h的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到
台风的侵袭。
解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t
故
因此
解得
解法二:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向. 在时刻:t(h)台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是,其中t+60,
若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有
即
即, 解得.
答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭
◆提炼方法:实际应用问题,要从中找出题中的三角形和已知的边角等条件,再设计出合理的解题方案。
[例4]已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象. ⑴求函数的表达式;
⑵证明当时,经过函数图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.
解:(I)
(II)证明一:依题意,只需证明函数g(x)当时是增函数
在即的每一个区间上是增函数
当时,在是增函数,则当时,经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零
[研讨.欣赏]某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)
解:在△AOB中,设OA=a,OB=b.
因为AO为正西方向,OB为东北方向,所以∠AOB=135°.
又O到AB的距离为10.
∴
设∠OAB=α,则∠OBA=45°-α.
所以a=,b=,
ab=·
=
=
=≥,
当且仅当α=22°30′ 时,“=”成立.
所以|AB|2≥=400(+1)2,
当且仅当a=b,α=22°30′时,“=”成立.
所以当a=b==10时,即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处,能使|AB|最短,最短距离为20(-1).
法二;
…
法三:|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=(2+)ab,…
◆温馨提示:1.若直接建立|AB|2与角α的函数关系,求最值值困难;
2.先视|AB|2为a,b的函数放缩,再把ab看成α的函数求出最小值;
4.作CE⊥平面ABD于E,则∠CDE=40°,延长DE交直线AB于F,则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角,在△CFD中,=.∴DF=.当α=50°时,DF最大.答案:C; 5.; 6. 最大值为1+=.
3.sinA2=cosA1,……A1、B1、C1是锐角。如果A2、B2、C2也是锐角,则,矛盾,故选D。
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