4．边角互化是解三角形的重要手段．

同步练习　 　　4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

　 [选择题]

2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

(1)　　　 已知三边，求三角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；

[例1](2006天津)如图，在中，，，．

(1)求的值；

(2)求的值.

解(Ⅰ)：　 由余弦定理，

∴

(Ⅱ)解：由，且得

由正弦定理:

解得。所以，。由倍角公式

，

且，故

.

◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.

[例2]在ΔABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c．

解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b<a,

所以有两解A=60°或A=120°

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=,

(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．

[例3](2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救　 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到)？

[解] 　连接BC,由余弦定理得

BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700　

　　 于是,BC=10　

　　 ∵∠ACB<90°　　　　　 ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援　

思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；

[例4]已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有

成立，求△ABC面积S的最大值．

解：由已知条件得

．即有 ，

又 　∴ 　．

∴

当时, ．

◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。

2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

[研讨.欣赏]

(2006江西)如图,已知△是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过△的中心.设.

(1)　　 试将△、△的面积(分别记为与)表示为的函数;

(2)　　 求的最大值与最小值.

解:

　　　 (1)因为为边长为的正三角形的中心,

　　　　 所以

　　　 由正弦定理

　　　　　 因为,所以当时,的最大值;

　　　　　 当时, 的最小值.

4.组成边长6,7,7时面积最大; 5. ; 6.

6.(2006春上海)在△中，已知，三角形面积为12，则

　　　 .

◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.

5.(2006全国Ⅱ)已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_________.

4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6(单位：)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 (　 )

A. 　　B.　 　　　　　C. 　　　　　D.

3．(2002年上海)在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是

A.等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 B.直角三角形

C.等腰三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.等边三角形

2．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为(　　 )

A.　 B.　　 C.　 D.