例1、求函数的最大值和最小值.

例2、在平面直角坐标系中有点，.

　(1)求向量的夹角的余弦值用表示的函数；

　(2)求的最值.

例3、如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线，救生员现在岸边的A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边A跑到离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒.

(1)分析救生员的选择是否正确？

(2)在AD上找一处C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。

例4、已知函数。

(1)证明：当时，经过图象上的任意两点的直线的斜率恒为负数；

(2)设有不相等的实数，，且，求+的值。

例5、(05山东卷)已知向量，

求的值.

5、设，则的最大值是　 ，最小值是　 .

4、函数与函数的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是　　　　　 .

3、已知是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，那么不等式的解集是　　　　　　　　　 (　　 )

　A、　　　　 B、

　C、　　　 D、

2、设实数满足，是正常数，且，那么的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

　A、　　　 B、　　 C、　　 D、

1、直线，，当变化时，与交点的轨迹是　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

　A、直线　　　　　 B、直线

　C、圆　　　　　　　 D、无法确定

三角函数是一种应用十分广泛的函数，常将一些代数问题、几何问题或某些实际应用问题通过三角代换，利用转化和化归的思想方法转化为三角问题来求解。

10. 在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.

分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.

解：应用正弦定理、余弦定理，可得

a=，所以

,

化简得a²=b²+c².所以△ABC是直角三角形.

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.

[探索题]已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+.

(1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.

(2)求y的最小值.

解：(1)∵y=cotA+

=cot A+

=cot A+

=cotA+cotB+cotC，

∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.

(2)∵cos(B－C)≤1，

∴y≥cotA+=+2tan=(cot+3tan)≥=.

故当A=B=C=时，y_min=.

评述：本题的第(1)问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥.

可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC =cotAcotBcotC来证.

9. (2004全国Ⅱ)已知锐角△ABC中，sin(A+B)=，sin(A－B)=.

(1)求证：tanA=2tanB；

(2)设AB=3，求AB边上的高.

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以(1)为铺垫，解决(2).

(1)证明：∵sin(A+B)=，sin(A－B)=，

∴

=2.

∴tanA=2tanB.

(2)解：＜A+B＜π，∴sin(A+B)=.

∴tan(A+B)=－，

即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan²B－4tanB－1=0，解得tanB=(负值舍去).得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.

设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

8.(2005春北京)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.

解法一：∵sinA+cosA=cos(A－45°)=，

∴cos(A－45°)=.

又0°＜A＜180°，

∴A－45°=60°，A=105°.

∴tanA=tan(45°+60°)==－2－.

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)

=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.

∴S_△ABC=AC·ABsinA

=·2·3·

=(+).

解法二：∵sinA+cosA=，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴(sinA+cosA)²=.∴2sinAcosA=－.

∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.

∴90°＜A＜180°.

∵(sinA－cosA)²=1－2sinAcosA=，

∴sinA－cosA=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①+②得sinA=.

①－②得cosA=.

∴tanA==·=－2－.

(以下同解法一)