18．(丁中)求与椭圆有公共顶点，且离心率为的双曲线方程.

错解：

错因：忽视了椭圆的短轴上的两个顶点。

正解：，

17．(丁中)已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x²+y² = m²，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围。

错解：,

错因：将题中的实数m当成了圆的半径，误认为m>0。

正解：且

16．(一中)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A、B两点，且

　 (1)求直线AB的方程；

　 (2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

解：(1)设直线AB：代入得

　　 　　　　(＊)

　　　　 令A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁、x₂是方程的两根

　　　　 ∴　 　且 　　

　　　　 ∵　 　　∴　 N是AB的中点　 ∴　

　　　　 ∴　 　　k = 1　　 ∴AB方程为：y = x + 1 

　 (2)将k = 1代入方程(＊)得　 或 

　　　　 由得，

　　　　 ∴　 ，

　　　　 ∵　 　　∴　 CD垂直平分AB　　 ∴　 CD所在直线方程为

　　　　 即代入双曲线方程整理得

　　　　 令，及CD中点

　　　　 则，，　 ∴，　

　　　　 |CD| =，

　　　　 ，即A、B、C、D到M距离相等

　　　　 ∴　 A、B、C、D四点共圆

15．(一中)如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(I)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(II)如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

解：(I)以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为

　　　 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|

　　　 又∵， ∴AC⊥BC

　　　 又∵|BC|＝2|AC|　 ∴|OC|＝|AC|

　　　 ∴△AOC为等腰直角三角形　

　　　 ∴点C的坐标为(1，1)　 ∴点B的坐标为(－1，－1)

　　　 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得，

　　　 则求得椭圆方程为　　　

　　　 (II)由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)，不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1

　　　 由　 得(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1＝0 *)

　　　 ∵点C(1，1)在椭圆上，

　　　 ∴x＝1是方程(*)的一个根，∴x_P•1＝即x_P＝

　　　 同理x_Q＝　

　　　 ∴直线PQ的斜率为(定值)

又∠ACB的平分线也垂直于OA

　　　 ∴直线PQ与AB的斜率相等(∵k_AB=)

　　　 ∴向量，即总存在实数，使成立．

14．(城西中学)设F₁、F₂是双曲线-=1(a>0)的两个焦点

⑴若点P在双曲线上,且·＝0,||·||=2，求双曲线的方程。

⑵设曲线C是以⑴中的双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆，若F₁’、F₂’分别是其左右 焦点，点Q是椭圆上任一点，M(2，)是平面上一点，求|QM|+|QF₁’|的最大值。

正确答案：⑴因为·＝0，∴⊥依题意

|｜²+||²=||²　　①

|｜+||=2　　　 ②

||｜-|||=4　　③

①-③²：2||·||=4a，将②代入得a=1，

所以双曲线的方程为-y²=1

⑵由⑴及题意可得C的方程为+y²=1，所以|QF₁’|+|QF₂’|=2

且F₁’(-2,0),F₂’(2,0)，显然M点在椭圆内部。

所以|QM|+|QF₁’|=|QM|+2-|QF₂’|≤2+|MF₂’|

如图当|QM|-|QF₂’|=|MF₂’|时　|QM|-|QF₂’|的值最大

所以|QM|+|QF₁’|的最大值为2+

错因：第二问的转化出错。

13．(磨中)设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0，)

到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点坐标。

　 正确答案：+y²=1

　 错语原因：①利用相切的条件求解设有理论依据

②求最值时忽视了b的范围而没有加以讨论，导致解题过程出错。

12．(磨中)设抛物线y²=2Px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。

　 正确答案：见2001年全国高考理19题

　 错误原因：设直线斜率为k，考虑到一般情况，而忽视了特殊情况。

11．(搬中) 已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。

　　 错解 设A、B两点坐标分别为、

　　 因为

　　 所以

　　 又椭圆中心为(1，0),右准线方程为x=5

　　 所以

　　 即

　　 同理

　　 所以

　　 设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得

　　 所以

　　 代入(1)式得

　　 所以

　　 所以|有最小值3,无最大值。

　　 剖析　 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有

　 所以有最小值为 3，最大值为25/4

10．(搬中)已知双曲线,问过点A(1，1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

　　 错解　 设符合题意的直线存在，并设、

　　 则

　　 (1)得

　　 因为A(1，1)为线段PQ的中点，

　　 所以

　　 将(4)、(5)代入(3)得

　　 若，则直线的斜率

　　 所以符合题设条件的直线存在。

　　 其方程为

　　 剖析　 在(3)式成立的前提下，由(4)、(5)两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

　　 应在上述解题的基础上，再由

　　 得

　　 根据,说明所求直线不存在。

9． (搬中)椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P()到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。

　　 错解　 设所求椭圆方程为

　　 因为

　　 所以a=2b

　　 于是椭圆方程为

　　 设椭圆上点M(x,y)到点P 的距离为d,

　　 则：

　　 所以当时，

　　 有

　　 所以所求椭圆方程为

　　 剖析　 由椭圆方程

　　 得

　　 由(1)式知是y的二次函数，

　　 其对称轴为

　　 上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，

　　 其正确应对f(y)=的最值情况进行讨论：

　　 (1)当，即时

　　 =7

　　 ,方程为

　　 (2)当,

　　 即时，

　　 ，与矛盾。

　　 综上所述，所求椭圆方程为