373. 定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有　　　　　　　 　　　　　　　　　　 (　)

(A)1个　　 (B)2个　　 (C)3个　　 (D)4个

解析：D

过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求

372. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，若E是A₁C₁的中点，则直线CE垂直于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 (　)

(A)AC　　　 　(B)BD　 　(C)A₁D 　(D)A₁D₁

解析：(B)

BD⊥AC，BD⊥CC₁，∴BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥CE．

371. 若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

(A)有且只有一个　　　　　 (B)可能存在也可能不存在

(C)有无数多个　　　　　　　 (D)一定不存在

(B)

解析：若存在，则a⊥b，而由条件知，a不一定与b垂直．

370. 点P在线段AB上，且AP∶PB＝1∶2，若A，B到平面α的距离分别为a，b，求点P到平面α的距离．

解析：(1)A，B在平面α的同侧时，P平面α的距离为；

(2)A，B在平面α的异侧时，P平面α的距离为．

点评　一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第(2)种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第(2)种情形的结论，就是将(1)结论中的b改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解．

369. 如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M为棱CC₁的中点，AC交BD于点O，求证：A₁O⊥平面MBD．

解析：要证A₁O⊥平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A₁O都垂直，首先想到DB，先观察 A₁O垂直DB吗？

方法1：发现A₁O平分DB，想到什么？(△A₁DB是否为等腰三角形)

∵A₁D＝A₁B，DO＝OB，∴A₁O⊥DB．

方法2：A₁O⊥DB吗？即DB⊥A₁O吗？DB垂直包含A₁O的平面吗？(易见DB⊥平面A₁ACC₁)

再观察A₁O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A₁O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A₁O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．

证明　取CC₁中点M，连结MO，∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，∴DB⊥平面A₁ACC₁，而A₁O平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．在矩形A₁ACC₁中，∵tan∠AA₁O=，tan∠MOC=，∴∠AA₁O=∠MOC，则∠A₁OA+∠MOC＝90°，∴A₁O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A₁O⊥平面MBD．

368. 如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱B₁C₁，A₁D₁，D₁D，AB的中点．

(1)求证：A₁E⊥平面ABMN．

(2)平面直线A₁E与MF所成的角．

解析：(1)要证A₁E⊥平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A₁E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN⊥平面A₁ADD₁，另一方面，AN与A₁E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．(2)为(1)的应用．

证明　(1)∵AB⊥平面A₁ADD₁，

而A₁E平面A₁ADD₁，

∴AB⊥A₁E．在平面A₁ADD₁中，A₁E⊥AN，　

∵AN∩AB＝A，∴A₁E⊥平面ABMN．

解　(2)由(1)知A₁E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A₁E⊥MF，

则A₁E与MF所成的角为90°

367. 已知P为ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD∥平面MAC．

解析：　因M为PB的中点，连BD∩AC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线．

证明　 连AC交BD于O，连MO，

则MO为△PBD的中位线，

∴PD∥MO，∵PD平面MAC，MO平面MAC，

∴PD∥平面MAC．

366. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，期棱长为a.

(1)求证BD⊥截面AB₁C；

(2)求点B到截面AB₁C的距离；

(3)求BB₁与截面AB₁C所成的角的余弦值。

同理BD₁⊥AB₁.∴BD₁⊥面ACB₁.

(2)AB=BC=BB₁G为△AB₁C的中心.AC=a

AG=a

∴BG==a

(3)∠BB₁G为所求

cos∠BB₁G=

365. 设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解析： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，

∴AB⊥平面MAD，

由此，面MAD⊥面AC.

记E是AD的中点，

从而ME⊥AD.

∴ME⊥平面AC， ME⊥EF

设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.

不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.

设球O的半径为r，则r＝

设AD＝EF＝a,∵S_ΔAMD＝1.

∴ME＝.MF＝,

r＝≤＝-1

当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.

∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.

364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).

解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米²)