82. 两个平面同时垂直于一条直线,则两个平面平行.
已知:a、b是两个平面,直线l⊥a,l⊥b,垂足分别为A、B.
求证:a∥b思路1:根据判定定理证.
证法1:过l作平面g ,
a∩g=AC,b∩g=BD,
过l作平面d,
a∩d=AE,b∩d=BF,
l⊥al⊥AC
l⊥bl⊥BD AC∥BDAC∥b,
l、AC、BD共面
同理AE∥b,AC∩AE≠f ,AC,AEa ,故a∥b.
思路2:根据面面平行的定义,用反证法.
证法2:设a、b有公共点P
则l与P确定平面g,
且a∩g=AP,b∩g=BP.
l⊥al⊥AP
l⊥bl⊥BP
l、AP、BP共面,于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直,这是不可能的.
故a、b不能有公共点,∴ a∥b.
81. 有三个几何事实(a,b表示直线,表示平面),① a∥b,② a∥,③ b∥.其中,a,b在面外.
用其中两个事实作为条件,另一个事实作为结论,可以构造几个命题?请用文字语言叙述这些命题,并判断真伪.正确的给出证明,错误的举出反例.
解析:Ⅰ: a∥b
a∥ b∥
b在外
Ⅱ:a∥b
b∥ a∥
a在外
Ⅰ、Ⅱ是同一个命题:两条平行直线都在一个平面外,若其中一条与平面平行,则另一条也与该平面平行.
证明:过a作平面与交于
∵ a∥
∵ a∥
而a∥b
∴ b∥且b在外,在内
∴ b∥.
Ⅲ:a∥
a∥b
b∥
命题:平行于同一个平面的两条直线平行,
这是错的,如右图
80. 已知:平面与平面相交于直线a,直线b与、都平行,求证:b∥a.
证明:在a上取点P,b和P确定平面设与交于,与交于
∵ b∥且b∥
∴ b∥且b∥
∴ 与重合,而, ,实际上是、、a三线重合,
∴ a∥b.
79. 如图,已知a、b是两条相互垂直的异面直线,其公垂线段AB的长为定值m,定长为n(n>m)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动,M、N分别是AB、PQ的中点。
(1)求证:AB⊥MN;
(2)求证:MN的长是定值(14分)
解析:
78. 在正方体ABCD-A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心。
求证:A1O⊥平面GBD(14分)
解析:
77. .如图,ABCD为正方形,过A作线段SA⊥面ABCD,又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H,求证:E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。(12分)
解析:
76. 如图,已知
求证a∥l
解析:
75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。
如图:(1)证明:PQ∥平面AA1B1B;
(2)求线段PQ的长。(12分)
评注:本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”;方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”。本题证法较多。
74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证MN⊥面PCD.(12分)
解析:
71. 球面上有三个点A、B、C. A和B,A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R,那么球心到截面ABC的距离等于 解析:本题考查球面距离的概念及空间想像能力.
如图所示,圆O是球的大圆,且大圆所在平面与面ABC垂直,其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径,弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离,OE是球的半径,因此,欲求OD,需先求出截面圆ABC的半径.
下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的,所以∠AOB=×2π=,同理∠AOC=,∠BOC=.
∴|AB|=R, |AC|=R, |BC|=. 在△ABC中,由于AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径. ∴|ED|= 从而|OD|=. 故应选B. 72. 如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,该图中,互相垂直的面有 A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 答案(D) 解析:要找到一个好的工作方法,使得计数时不至于产生遗漏 73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心,那么AB和DM所成的角等于______
解析:90°连CM交AB于N,连DN,易知N是AB中点,AB⊥CN,AB⊥DN.
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