472. 已知D为平面ABC外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即．

解析：如图答9-25，设DA=a，DB=b，DC=c，则，，．在△ABD中，作DM⊥AB于M，则．　 ∵　 CD⊥AD，CD⊥DB，∴　 CD⊥平面ADB，∴　 CD⊥DM．在Rt△CDM中，

，　 ∴　

图答9-25

471. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．

解析：如图答9-24，设AC=a，BC=b，CD=c，∵　 △ACD是Rt△，∴　 ．　 ∵　 △ABC是Rt△，∴　 ．∵　 △BCD是Rt△，∴　 ．而在

△ABD中，，又∵　 ∠BAD是三角形内角，∴　 0°＜∠BAD＜180°，∴　 ∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴　 △ABD是锐角三角形．

470. 如图9-55，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．

　(1)指出这个二面角的面、棱、平面角；

　(2)若二面角是直二面角，求的长；

　(3)求与平面所成的角；

　(4)若二面角的平面角为120°，求二面角的平面角的正切值．

解析：(1)∵　AD⊥BC，∴　AD⊥DC，，∴　二面角的面为ADC和面，棱为AD，二面角的平面角为．

　　(2)若，∵　AC=a，∴　，∴　．

　　(3)∵　，AD⊥DC，∴　AD⊥平面．∴　为与平面所成的角，在Rt△中，，∴　，于是

．

　　(4)取的中点E，连结AE、DE，∵　，，∴　，，∴　∠AED为二面角的平面角，∵　，，∴　，在Rt△AED中，，∴　

469. 在正方体中，，，且，(如图9-54)．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．

解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平面角．设正方体棱长为a，则，．在△ECM中，由BK∥CM可得，，故．因此所求角的大小为或．

468. ．如图9-53，是长方体，AB=2，，求二平面与所成二面角的大小．

解析：∵　平面ABCD∥平面，∴　平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线．直线l就是二平面与所成二面角的棱．又⊥平面，过作AH⊥l于H，连结AH．则为二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小为或

467. 平面a ⊥平面g ，平面b ⊥平面g ，且a ∩g =a，b ∩g =b，a∥b，平面a 与b 的位置关系是________．

解析：平行．在g 上作l⊥a，∵　a∥b，∴　l⊥b．∵　a ⊥g 于a，∴　l⊥a ，同理l⊥b ．∴　a ∥b ．

466. 已知二面角a -l-b 的大小为q (q 是锐角)，A∈l，B∈l，，且P∈a ，P在b 内的射影为P′．记△ABP的面积为S，则△ABP′的面积S′等于________．

解析：Scosq ．作PH⊥l于H，连结．∵　 ，∴　(三垂线定理的逆定理)．∴　为二面角a -l-b 的平面角，即．，，∴　

图答9-46

465. 如图9-52，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则二面角A-BD-C的平面角是(　)．

　A．钝角　　　　　　B．直角

　C．锐角　　　　　　D．大小不确定的

解析：A．取BD中点E，连结AE、CE，由AB=AD，∠ABC=∠ADC，AC=AC得△ABC≌△ADC，∴　DC=BC，∴　AE⊥BD，CE ⊥ BD，∴　∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．∵　，，，∴　

，∵　∠AEC为钝角

464. 一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上)，则这条线段与这两个平面所成的角的和(　)．

　A．等于90°　　　　　B．大于90°

　C．不大于90°　　　　　D．不小于90°

解析：C．如图答9-45，设直二面角a -l-b ，作AC⊥l于C，BD⊥l于D．∵　a ⊥b ，则AC⊥b ，BD⊥a ，连结BC、AD，则∠ABC为AB与平面b 所成的角，∠BAD为AB与平面a 所成的角．

　当AB⊥l时，易得AB与a 、b 所成角之和等于90°，当AB与l不垂直时，设，，，，　　 ，∵　BC＞BD，∴　，∵　函数y=sinx在上是增函数，∴　，∵　，∴　，∴　．故AB与a 、b 所成角之和≤90°．

463. 设直线l、m，平面a 、b 、g 满足b ∩g =l，l∥a ，ma ，且m⊥g ，则必有(　)．

　A．a ⊥g ，且l⊥m　　　　 B．a ⊥g ，且m∥b

　C．m∥b ，且l⊥m　　　　 D．a ∥b ，且a ⊥g

解析：A．