522. 已知正四棱锥的各条棱都是a.

(1)求底面一边到相对侧面的距离；

(2)求证：相邻两侧面所成二面角等于侧面和底面所成二面角的2倍；

(3)求相对两侧面所成二面角的余弦值.

(1)解：　 作PO⊥底面ABCD，垂足是O，取BC、AD、PB的中点F、E、M，连结PE、PF、EF、OM、MC、MA.

∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，AD到平面PBC的距离就是E点到平面PBC的距离，∵BC⊥平面PEF，∴平面PEF⊥平面PBC.∴E点到交线PF的距离就是E点到平面PBC的距离d.

∴d·PF＝PO·EF,d·a＝a·,∴d＝a.

(2)在ΔACM中，∵AM＝MC＝a,AD＝OC,∴OM是∠AMC的平分线，又AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC是二面角A-PB-C的平面角，∠OFP是二面角P-BC-AD的平面角.

又∵AO＝PO＝a,AM＝PF＝a,∴RtΔPOF≌RtΔAMO.

∴∠AMC＝2∠PFO，∴命题成立.

(3)设相对两侧面PBC、PAD的交线是l，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴AD∥l，∵BC⊥平面PEF，∴l⊥平面PEF，∴∠EPF就是所求二面角的平面角.

∴cos∠EPF＝＝.

521. 　已知边长为10的正ΔABC的顶点A在平面α内，顶点B、C在平面α同侧，BD为AC边上的中线，B、C到平面α的距离分别是BB₁＝2，CC₁＝4

(1)求证：BB₁∥平面ACC₁

(2)求证：BD⊥平面ACC₁

(3)求四棱锥A-BCC₁B₁的体积

解析： 本小题考查空间图形线、面的平行、垂直关系，考查逻辑思维能力和运算能力.

解　 (1)∵BB₁⊥α，CC₁⊥α，∴BB₁∥CC₁

∵BB₁平面ACC₁，CC₁平面ACC₁，

∴BB₁∥平面ACC₁.

(2)∵

过D点作AC₁的垂线DD₁，则DD₁⊥α.

∵DD₁＝CC₁＝×4＝2＝BB₁，

∴四边形B₁BDD₁是矩形

∴B₁D₁∥BD

∵BD⊥平面ACC₁

(3)在RtΔABD中，BD＝＝＝B₁D₁

在RtΔACC₁中，AC₁＝＝，连结BC₁，

则＝+＝××AC₁×B₁D₁×BB₁+××AC₁×CC₁×BD.

∴＝××××2+××××4＝30.

520.　 如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁

(1)求证：BE＝EB₁

(2)若AA₁＝A₁B₁，求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数

解析： 欲证BE＝EB₁，可证A₁E＝EC，由截面A₁EC⊥侧面AC₁，考虑到作EG⊥A₁C于G，关键在于证出G是A₁C的中点，为了利用正棱柱的性质，可取AC中点F，证FG∥AA₁即可.

证明：　 (1)在截面A₁EC中，作EG⊥A₁C于G，∵面A₁EC⊥面A₁C，∴EG⊥面A₁C，取AC中点F，连BF、FG，易证EBFG为平行四边形，∴BE＝FG，又证得FG＝AA₁，∴BE＝AA₁＝BB₁，即BE＝EB₁.

(2)分别延长CE、C₁B₁交于点D，连A₁D，利用E是BB₁的中点，可证得A₁C₁⊥A₁D，由三垂线定理，可证出A₁C⊥A₁D，

∴∠CA₁C₁为所求二面角的平面角，由A₁A＝A₁C，得∠CA₁C₁＝45°.

评析　 本题解题思路：由证E是BB₁的中点证G是A₁C的中点GF∥AA₁，要完成此过程，除具有扎实的立几基本功外，尚需很好的平几修养，确实是一个考查基础知识很全面的好题.

519.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别为6m²,4m²和3m²，求它的体积.

解析：设三棱锥S-ABC的三条侧棱长分别为xm,ym,zm.则三个侧面积分别为、、.

依题意： 则　 xyz＝24

而　 V_S-ABC＝V_A-SBC＝·yz·x＝×24＝4(m³)

∴它的体积为4m³.

518.将正方体截去一个角，求证：截面是锐角三角形.

已知：正方体中截去以P为顶点的一角得截面ABC.

求证：ΔABC是锐角三角形.

证明：如图，P-ABC是一个四面体.

∵ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA都是直角三角形.

∴ 则　 z²＝(a²+b²-c²)

∵z≠0，∴a²+b²-c²＞0

即　 c²＜a²+b²,∴b²＜a²+c².

∴∠BAC、∠ABC都小于90°.

∴ΔABC为锐角三角形.

517.　 如图三棱锥P-ABC中，PA＝a,AB＝AC＝2a,∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P-ABC的体积.

解法一：过点P作PO⊥平面ABC于点O，∵∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°

∴AO平分∠BAC

∴cos∠PAO＝＝，∴sin∠PAO＝＝

∴PO＝asin∠PAO＝a

∴V_棱锥＝××2a×2asin60°×a＝a³

点评　 这种方法叫直接法，就是利用锥体的体积公式直接计算，这是一种常规方法，必须掌握.

解法二：取AB、AC中点M、N的连结PM、PN

∵PA＝a,AB＝AC＝2a,∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°

∴三棱锥P-AMN为棱长为a的正四面体，且S_ΔAMN＝S_ΔABC

∴V_P-AMN＝V_P-ABC，而V_P-AMN＝a³

∴V_P-ABC＝4V_P-AMN＝a³

点评 　此法是根据棱长与含有60°角的三角形的关系，把锥体截成棱长相等的三棱锥，然后根据小锥体的体积与原棱锥的体积关系，求原棱锥的体积.

解法三　 在ΔPAB中，PA＝a,AB＝2a

又∠PAB＝60°，∴∠APB＝90°

同理∠APC＝90°∴AP⊥平面PBC

又S_ΔPBC＝a² ∴V_P-ABC＝V_A-PBC＝·a²·a＝a³.

516. 　在三棱锥A-BCD中，ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形，二面角A-BC-D＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。

解析：S_ΔBAC＝S_ΔBCD＝a²为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于S_ΔABD与S_ΔACD的大小，由于ΔABD≌ΔACD，所以只求S_ΔACD何时面积取最大值即可。∵S_ΔACD＝asin∠ACD，所以当∠ACD＝90°时面积最大，问题得解。

解　 如图，取BC中点M，连AM、DM，∴ΔABC和ΔBCD都是正三角形，∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，∠AMD＝φ，又∵ΔABD≌ΔACD，且当∠ACD＝90°时，ΔACD和ΔABD面积最大，此时AD＝a，在ΔAMD中，由余弦定理cos∠AMD＝-，

∴当φ＝π-arccos时，三棱锥A-BCD的全面积最大。

点评　 本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求ΔACD面积的最大值，间接求得φ角。

515.　 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.

解析：(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周长的最小值为a.

(2)如图2，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF.∴BG＝＝＝a　 ∴S_ΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a².

(3)∵V_A-BCD＝V_B-ACD，而三棱锥B-AEF，三棱锥B-ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即

＝＝＝

评析 　把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.

514.　 已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形的各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x²-21x+13＝0的两根.求此三棱锥的侧面积和体积.

解析： 如图，设底面三角形的边长为a、b、c.则由条件知∠B＝60°，a+c＝7,ac＝，得b²＝a²+c²-2accosB＝(a+c)²-2ac(1+cosB)＝7²-2·(1+)＝36b＝6,由三角形面积公式，得acsinB＝pr(其中p为半周长，r为内切圆半径)，求得r＝.

由于各侧面与底面成的角相等，∴顶点在底面上的射影是三角形的内心，且各侧面上的高相等，∴h＝rtg60°＝·＝，h_侧＝＝.故S_侧＝(7+6)×＝ (平方单位)，V＝·acsinBh＝×××＝ (立方单位).

513.　 如图，四棱锥的高为h，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积.

解析：由面面垂直的性质可证得VD⊥底面，因为S_ΔVDA＝S_ΔVDC，∠ADC＝120°，DB是其平分线，而S_ΔVBC＝S_ΔVAB，所以全面积不难求得.

解　 由已知条件可得VD⊥底面ABCD，VD⊥DA，VD⊥DC，

∴∠ADC＝120°.

∵ABCD为菱形，

∴BD是∠ADC的平分线.

ΔADB和ΔDBC是全等的等边三角形，取BC的中点E，

连DE，BC⊥DE，BC⊥VE，∴∠VED＝45°.

在直角ΔDEC中，EC＝DE·ctg60°＝h,BC＝h,VE＝h.

∴S_底＝BC·DE＝h·h＝h²,

S_ΔVBC＝S_ΔVAB＝·h·h＝h²,

S_ΔVAD＝S_ΔVDC＝h·h＝h².

∴S_全＝h²+h²+h²

　 ＝(2+)h²

评析：本题的关键是侧面VDA和侧面VDC都垂直于底面，则它们的交线VD⊥底面ABCD，从而∠ADC＝120°.