502. 在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,得到四边形EFGH.
(1)四边形EFGH是______________;
(2)当对角线AC=BD时,四边形EFGH是______________;
(3)当对角线满足条件______________时,四边形EFGH是矩形;
(4)当对角线AC、BD满足条件_______时,四边形EFGH是正方形.
解析:(1)由三角形中位线定理可知EFAC,HGAC,于是EFHG,故四边形EFGH为平行四边形;
(2)当AC=BD时,由EF=AC,EH=BD,得EF=EH,即平行四边形EFGH的邻边相等,故平行四边形EFGH为菱形;
(3)要使平行四边形EFGH为矩形,需且只须一个角是直角.如需EF⊥FG,则AC⊥BD;
(4)要使平行四边形EFGH为正方形,需且只须AC⊥ BD,且AC=BD;
501. 在长方体ABCD-中,AB=2,,M、N分别是AD、DC的中点.
(1)证明∥;
(2)求异面直线MN与所成角的余弦值.
解析:(1)∵ ∥∥,==,∴ 是平行四边形,∴AC∥,又MN∥AC,因此,MN∥.
(2)由(1),是异面直线MN与所成角.在△中,,.于是有.
500. 如图9-16,在棱长为a的正方体ABCD-中,求异面直线AC和的距离.
解析:连结交于,连结BD交AC于O,连结,在矩形中,是中点,O是AC中点,则于O.同理于,∴ 是异面直线AC和的公垂线.∵ ==a,∴ AC与间的距离为a.
499. 如图9-15,已知A是平面BCD外一点,满足AC=BD,M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点.求证:QN⊥PM.
解析:在△ABC中,∵ Q是AB中点,M是BC中点,∴ MQ∥AC,且MQ=AC,同理PN∥AC,且PN=AC.∴ QMPN.∴ 四边形MNPQ是平行四边形,又 ∵ PQ=BD,QM=AC,AC=BD,∴ PQ=QM,∴ 平行四边形MNPQ是菱形,∴ QN⊥PM.
498. 如图9-13,P是平面ABC外一点,PA=4,,D、E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.
解析:取AC中点F,连结DF、EF,在△PAC中,∵ D是PC中点,F是AC中点,则DF∥PA,同理可得EF∥BC,∴ ∠DFE为异面直线PA与BC所成的角.在△DEF中,DE=3,又DF=PA=2,EF=BC=,∴ ,∴ ∠DFE=90°,即异面直线PA与BC所成的角为90°.
497. 如图9-12,O是平面ABC外一点,、、分别在线段OA、OB、OC上,且满足,.求证:△ABC∽△.
解析:∵ ,,∴ .在△AOB中,由,∴ ∥AB,同理∥BC,∵ 与∠ABC方向相同,∴ =∠ABC,同理=∠BAC,∴ △∽△ABC.
496. 如图9-11,在正方体ABCD-中,E、F分别是棱、的中点,求证:EF∥BD,且.
解析:连结.∵ ∥,∴ 四边形是平面图形,又∵=,∴ 四边形是平行四边形,∴ BD,在△中,∵ E、F分别是与的中点,∴ EF,由公理4有EF∥BD,且有.
495. 已知m、n为异面直线,m平面a,n平面b,a∩b=l,则l( ).
A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交
C.与m、n都不相交 D.至多与m、n中的一条相交
解析:B.可参看下列图形:
494. 三条直线共面的条件可以是( ).
A.这三条直线两两平行B.这三条直线交于一点
C.这三条直线中的一条与另外两条都相交
D.这三条直线两两相交,但不交于一点
解析:D.可参看下列图形:
493. 在正方体ABCD-中,与对角线异面的棱有( ).
A.3条 B.4条 C.6条 D.8条
解析:C.如图答9-10,把正方体的几条棱分为三类,在平面上的四条棱中有、与异面,在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与异面,上下两底面之间的四条棱中,有、与是异面直线,故与异面的棱共6条.
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