512. 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.

解析：因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比，故只须求出对应边的比.

∵B₁D₁＝EF＝BD，

∴＝.

同理，＝＝＝＝＝，

故ABCD和A′B′C′D′是相似多面体，其表面积的比为1∶9.

511. 已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为6的正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=8，M是SA的中点，过M和BC作截面交SD于N.

(1)求证：截面MBCN是梯形，并求截面的面积；

(2)求截面MBCN与底面ABCD的夹角α.

解析：(1)先证MN∥BC且MN≠BC.因为BC∥AD，所以AD∥截面MBCN，从而

AD∥MN，BC∥MN.

又MN=AD=BC，所以MN≠BC.于是MN和BC平行但不相等，故MBCN是梯形.

再求截面的面积：SA⊥平面ABCD.易证MN和BC都垂直于平面ABS.所以MB⊥MN，MB⊥BC，故

S_截=(MN+BC)·MB

=(3+6)=9.

(2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明，知∠MBA的是截面与底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是

tanα===

∴α=arctan

510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比.

解析：设棱锥的高为h，它被截成的三部分自上而下设为h₁，h₂，h₃，则有

()³=,()³=2,()³=.

所以h₁=h,h₂=(-1)h₁=(-1)h，

h₃=h.

所以h₁∶h₂∶h₃=1∶(-1)∶(-).

说明 　求体积之比或面积之比常用相似比.

509. 已知三棱锥S-ABC的底面面积是a，三棱锥的高是h，M、N、P、Q分别是SB、SC、AC、AB的中点，求五面体MN-PQBC的体积

解析： 如图，过M作MD∥BA交SA于D，则D是SA的中点，连结ND，则ND∥AC

所求五面体MN-PQBC的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA-MQPN的体积之差

而V_S-ABC=ah，

V_S-DMN=·a·=ah，

V_{三棱主柱DMN-APQ}=S_△AQP·h=ah，

∴V_MN-PQBC=V_S-ABC-V_SA-MQPN

=ah-(ah+ah)

=ah

508.　 三棱锥A-BCD中，AC=BD,AD=BC,AB=CD，三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、，则cosα+cosβ+cos=　　 　　.

解析：如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c

由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形.

记为S，侧面在底面的射影分别为S₁、S₂、S₃

则=cosα, =cosβ, =cos

cosα+cosβ+cos===1

507. 下列命题中是真命题的是(　　 )

A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥

B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥

C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥

D.正四面体是正三棱锥

解析： 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A、B不正确，C中的各三角形没有指明共顶点，C也不正确，D是真命题，所以选D.

506. 在空间中，

　①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．

　②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．

　以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．

　(把符合要求的命题序号都填上)

解析：②．①的逆命题为：空间四点中若任何三点都不共线，则这四点不共面．此命题是假命题．平行四边形的四个顶点是其反例．

　②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，可知此命题为真命题．

505. 如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD-中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．

图9－19

　(1)求异面直线与所成角的大小；

　(2)求异面直线EF与所成角的大小；

　(3)求异面直线EF与所成角的正切值；

　(4)求异面直线EF与的距离．

解析：(1)∵　 ∥AC，∴　 与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在△和△，∵　 ＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形．∵　 O是底边AC的中点，∴　 ，故与所成的角是90°．

　(2)∵　 E、F分别是AB、AD中点，∴　 EF∥BD，又∵　 ∥AC，∴　 AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角．∵　 四边形ABCD是正方形，∴　 AC⊥BD，∴　 EF与所成的角为90°

　(3)∵　 EF∥BD，∴　 为异面直线EF与所成的角．∵　 四边形是正方形，∴　 ，∴　 在Rt△中，，＝＝，∴　 ，即EF与所成角的正切值为．

　(4)∵　 EF∥BD，BD⊥AC，∴　 EF⊥AC，设交点为G．∵　 ⊥AC(由(1)

知)于O，则AC是异面直线EF与的公垂线，OG的长即为EF与间的距离，由于G是OA中点，O是AC中点，且，∴　 ，即EF与间的距离为．

504. 如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．

　(1)求证：EF与PC是异面直线；

　(2)EF与PC所成的角；

　(3)线段EF的长．

解析：(1)用反证法．假设EF与PC共面于a，则直线PE、CF共面a，则A∈a，B∈a，于是P与A、B、C共面于a，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线．

　(2)取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC ∴　 ∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角，∵　 PC⊥AB，∴　 EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵　 PC＝AB＝2，∴　 EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴　 ∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°．

　(3)由(2)知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴　 EF＝

503. 借助两支铅笔，试研究以下问题：

　(1)在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?

图9－17

　(2)在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢?

　(3)在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?

解析：(1)在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此．

　(2)在一个平面内，过一点(该点可在直线上，也可在直线外)有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上(以后可知该平面与直线垂直)．

　(3)在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面．